一、 Payoff ：零和赛局。 策略空间：「兰」（策略代号为Apple）、「哀」（策略代号为X） Players ：4人（注意庄家其实可以当成是Nature） 以下在不影响一般性的原则下，令庄家（H）选「兰」！ 顺序 ： 1.庄家摊牌。 2.其余三人在看到庄家牌之後，同时摊牌。 3. if 3:1，则 赛局结束。少数派获胜。赢家得到 1的报酬，输家得到 0。 Else 回到Step 1 二、处理只有一回合的赛局： 令Step 3，若非 3:1，则赛局结束，所有人得到很小的正数报酬ε（令ε→0）。 Sol. （一） 在不影响一般性的原则下，令庄家（H）选「兰」！ 则， 此时对於其他三人而言，选择「哀」是优势策略！！ 分析： 在庄家选兰的情况下，自己也选兰，兰至少得到两票。投票结果「兰：哀」只能 够是 4:0、3:1、2:2。 不论是哪一种，投给兰的报酬保证是 0： 在4:0、2:2 的情况下，得到 ε （＝0） 在3:1 的情况下，得到 0 （Real Zero） ∴投小哀可能是优势策略。 ∵对其余三人而言，是对称的。对称解存在。 ∴其中一个纯粹策略NE为： 在看到庄家投给兰的情况下，对应策略： 投给兰的机率 投给哀的机率 报酬 庄家 1 0 1 （100万元） 其余三人 0 1 0 （Real Zero） ……1 （注意：在ε→0 时，其余三人没有诱因 脱离 此NE） （二）其余三人了解投给哀报酬也保证是0後，也可能投给兰。 在看到庄家投给兰的情况下，是否存在如下全部人投兰的纯粹策略NE呢？ 投给兰的机率 投给哀的机率 报酬 庄家 1 0 ε 其余三人 1 0 ε 呢？ Ans：此种纯粹策略NE不存在 ∵因为其余三人有人会deviate，改投哀可独享 1的报酬(100万元）。 （三）混和策略NE 在看到庄家投给兰的情况下， 假定存在混和策略NE： 投给兰的机率 投给哀的机率 期望报酬 庄家 1 0 0 其余三人 P 1-P 0 （∵存在对称解） 分析： 由於庄家必投兰，因此仅需要考虑其他三人的策略。 其他三人的 最後的 赢家 此结果下的 机率 投票状况 投票结果 赢家报酬 （输家得0） 兰：哀＝3:0 4:0 无 ε 兰：哀＝2:1 3:1 投哀的人 1 兰：哀＝1:2 2:2 无 ε 兰：哀＝0:3 1:3 投兰的人（庄家）0 Max [我的期望报酬]＝P＊[我投兰的报酬]＋(1-P)＊[我投哀的报酬] ……2 p 其中： 兰：哀 报酬 ↓ ↓ 我投兰的报酬 ＝我投兰且全部恰好四人投兰（4:0，得到ε） ＋我投兰且全部恰好三人投兰（3:1，得到 0） ＋我投兰且全部恰好两人投兰（2:2，得到ε） ＋我投兰且全部恰好一人投兰（不可能出现） 2 2 ＝P ＊ε＋2P (1-P)＊0＋(1-P)＊ε 2 2 ＝[(P＋(1-P)]＊ε ＝[1－2P(1-P)]＊ε ……3 ※注意： 庄家 1的机率投兰，0 的机率投哀； 其他两人 P的机率投兰，1-P 机率投哀。 兰：哀 报酬 ↓ ↓ 我投哀的报酬 ＝我投哀且全部恰好四人投兰（不可能出现） ＋我投哀且全部恰好三人投兰（3:1，得到 1） ＋我投哀且全部恰好两人投兰（2:2，得到ε） ＋我投哀且全部恰好一人投兰（1:3，得到 0） 2 2 ＝P ＊1＋2P (1-P)＊ε＋(1-P)＊0 2 ＝P ＋2P(1－P)＊ε ……4 式3 4代回2 2 期望报酬EU＝ P[1－2P(1-P)]＊ε＋(1-P)[P ＋2P(1-P)＊ε] ε→0 2 ＝(1-P)P FOC 2 3P －2P ＝0 =>P＝0 或 2/3 -- 不知道有没有想错…… --

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