※ 引述《atxp4869 (雅妍，最高\(￣▽￣)/！)》之銘言： : 科目:個體經濟學/CES與C-D函數彈性導出 : 問題:我想利用自然對數全微分的方法 : 導出CES及C-D函數的產量彈性 要素替代彈性 跟生產力彈性 : 其中CES函數為 Q=γ[δK^-α+(1-δ)L^-α]^-1/α : C-D函數為 Q=L^α*K^β : 我的想法: : 一、C-D的產量彈性 : 取自然對數會變成 ㏑Q=α㏑L+β㏑K : 再對L取偏微分(暫用d代替) d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K : 因為是對L偏微 所以βd㏑K=0，d㏑Q=αd㏑L 勞動產量彈性=d㏑Q/d㏑L=α : 這樣就可以了嗎 : 如果以上推論過程完全無錯 : 那是不是可以用這種方法推導CES的產量彈性呢? : 二、CES的生產力彈性 : 在C-D函數中 生產力彈性可以用自然對數的方法導出來 : 也就是以下過程(此處d指全微分) : ㏑Q=α㏑L+β㏑K : d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K : ∵d㏑L=dL/L d㏑K=dK/K 且dt/t(=d㏑t)=dL/L=dK/K : ∴d㏑Q=αd㏑t+βd㏑t : d㏑Q=d㏑t(α+β) 生產力彈性=d㏑Q/d㏑t=α+β : 我CES也是取自然對數跟全微分 但都弄不出來 : 我已經知道CES的生產力彈性等於1 這裡有點小問題，就提出來討論一下 基本上，CES(Constant Elasticity of Substitution) 指的是生產要素的替代彈性為固定 如果原PO要討論的生產力彈性是d㏑Q/d㏑t 那麼，這與CES函數的特性應無關 這種情況下，其實不見得一定要取對數來算 如soun所提出的全微分推導便可算出 但生產要素替代彈性的部分 可參考Jehle and Reny的Advanced Microeconomic Theory(2nd)的p.121 他的定義還滿清楚的 如果是像這裡的兩變數的case 其實用 替代彈性 = dln(K/L)/dln(MRTS)的概念來想會比較好算 此處 MRTS(LK) = [(1-δ)/δ]*[(K/L)^(α+1)] ==> ln(MRTS) = ln[(1-δ)/δ] + (α+1)ln(K/L) ==> dln(MRTS) = (α+1)dln(K/L) ==> 生產要素替代彈性 = dln(K/L)/dln(MRTS) =1/(α+1) ....(#) 所以可以發現這替代彈性是一個常數(也因此被稱為CES函數) 另外有一個可以延伸的探討是 當α--> 0時，整個CES函數會趨近於C-D函數 (請參閱MasColell的習題3.C.6 習題中的函數型態其實是比較常見的，跟這裡不大一樣 但基本運算的流程與結構差異不大 另，雖習題中是效用函數；但同上，運算過程可自行替換) 亦即，此處也會如C-D函數計算要素替代彈性一樣 當然，這裡彈性=1應該是沒有問題的 直接對C-D計算彈性計算，或用上述的趨近概念 再將Eq(#)取α--> 0都可以得到彈性=1的結果 所以，C-D其實也是CES家族的一份子 最後，α愈大代表替代性愈低 若趨近無窮大，生產函數就趨近完全互補 而在此處的設定上，α若等於 -1，則生產函數為線性 也就是完全替代的情況 (剛剛提到的MWG習題3.C.6也有類似結論，不過因設定上的差異 那個題目的case是α= 1 則效用函數為線性，但精神不變) 匆匆算完，如果過程有誤敬請指教 也歡迎一起討論 :) : 也就是說算到最後 一定會出現dQ/Q=dt/t(或是d㏑Q=d㏑t)的結果 : 可是CES函數 我取了自然對數後 就算不下去了 : 做了全微分也弄不出想要的d㏑L 與 d㏑K : 請問有高手可以化簡給我看一下嗎 : 感謝 --

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