※ 引述《atxp4869 (雅妍，最高\(￣▽￣)/！)》之铭言： : 科目:个体经济学/CES与C-D函数弹性导出 : 问题:我想利用自然对数全微分的方法 : 导出CES及C-D函数的产量弹性 要素替代弹性 跟生产力弹性 : 其中CES函数为 Q=γ[δK^-α+(1-δ)L^-α]^-1/α : C-D函数为 Q=L^α*K^β : 我的想法: : 一、C-D的产量弹性 : 取自然对数会变成 ㏑Q=α㏑L+β㏑K : 再对L取偏微分(暂用d代替) d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K : 因为是对L偏微 所以βd㏑K=0，d㏑Q=αd㏑L 劳动产量弹性=d㏑Q/d㏑L=α : 这样就可以了吗 : 如果以上推论过程完全无错 : 那是不是可以用这种方法推导CES的产量弹性呢? : 二、CES的生产力弹性 : 在C-D函数中 生产力弹性可以用自然对数的方法导出来 : 也就是以下过程(此处d指全微分) : ㏑Q=α㏑L+β㏑K : d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K : ∵d㏑L=dL/L d㏑K=dK/K 且dt/t(=d㏑t)=dL/L=dK/K : ∴d㏑Q=αd㏑t+βd㏑t : d㏑Q=d㏑t(α+β) 生产力弹性=d㏑Q/d㏑t=α+β : 我CES也是取自然对数跟全微分 但都弄不出来 : 我已经知道CES的生产力弹性等於1 这里有点小问题，就提出来讨论一下 基本上，CES(Constant Elasticity of Substitution) 指的是生产要素的替代弹性为固定 如果原PO要讨论的生产力弹性是d㏑Q/d㏑t 那麽，这与CES函数的特性应无关 这种情况下，其实不见得一定要取对数来算 如soun所提出的全微分推导便可算出 但生产要素替代弹性的部分 可参考Jehle and Reny的Advanced Microeconomic Theory(2nd)的p.121 他的定义还满清楚的 如果是像这里的两变数的case 其实用 替代弹性 = dln(K/L)/dln(MRTS)的概念来想会比较好算 此处 MRTS(LK) = [(1-δ)/δ]*[(K/L)^(α+1)] ==> ln(MRTS) = ln[(1-δ)/δ] + (α+1)ln(K/L) ==> dln(MRTS) = (α+1)dln(K/L) ==> 生产要素替代弹性 = dln(K/L)/dln(MRTS) =1/(α+1) ....(#) 所以可以发现这替代弹性是一个常数(也因此被称为CES函数) 另外有一个可以延伸的探讨是 当α--> 0时，整个CES函数会趋近於C-D函数 (请参阅MasColell的习题3.C.6 习题中的函数型态其实是比较常见的，跟这里不大一样 但基本运算的流程与结构差异不大 另，虽习题中是效用函数；但同上，运算过程可自行替换) 亦即，此处也会如C-D函数计算要素替代弹性一样 当然，这里弹性=1应该是没有问题的 直接对C-D计算弹性计算，或用上述的趋近概念 再将Eq(#)取α--> 0都可以得到弹性=1的结果 所以，C-D其实也是CES家族的一份子 最後，α愈大代表替代性愈低 若趋近无穷大，生产函数就趋近完全互补 而在此处的设定上，α若等於 -1，则生产函数为线性 也就是完全替代的情况 (刚刚提到的MWG习题3.C.6也有类似结论，不过因设定上的差异 那个题目的case是α= 1 则效用函数为线性，但精神不变) 匆匆算完，如果过程有误敬请指教 也欢迎一起讨论 :) : 也就是说算到最後 一定会出现dQ/Q=dt/t(或是d㏑Q=d㏑t)的结果 : 可是CES函数 我取了自然对数後 就算不下去了 : 做了全微分也弄不出想要的d㏑L 与 d㏑K : 请问有高手可以化简给我看一下吗 : 感谢 --

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