※ 引述《theory (真好人˙希爾瑞)》之銘言： : ※ 引述《karena817 (Karena)》之銘言： : : 題目是 : : The ground-state wavefunction of a hydrogen atom is : : http://tinyurl.com/ypbgqa (不好意思,不會用電腦打) : : where a0 =53pm(the bohr radius) : : calculate the probability that the electron will be found within a small : : sphere of radius 1.0pm centred on the nucleus. : : 知道是要用Ψ*Ψ : : 但是後面的積分部分卻不知道該怎麼處理 = = : : 麻煩有算過這題的版友指導一下 : : 謝謝 : 不好意思之前想太快弄錯了 orz : 所以導了一個積分公式，不知道對不對..(定性上看起來是對的啦 @@) : R : ∫(r^2)exp(-ar)dr = [2/(a^3)] - exp(-ar){[(R^2)/a]+[2R/(a^2)]+[2/(a^3)]} : 0 : 有限上界正比於 R，exponential 裡的 a 代換成 2/a0 : 其他正比常數另外乘上....有錯請指教 orz 這題可以用分部積分 但也有取巧不用硬積的技巧: ∫(x^2)exp(kx)dx 我們知道 ∫exp(kx)dx = k^(-1) exp(kx) + const. 左邊 (LHS) 對 k 微分 (Dk 是對 k 微分的算符) LHS = Dk(∫exp(kx)dx) = ∫x exp(kx)dx (看出其中奧妙了嗎XD) 而右邊: RHS = Dk (k^(-1) exp(kx) + const.) = -k^(-2) exp(kx) + x k^(-1) exp(kx) = exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ] 然而左邊再對 k 微分一次就會得到目標積分式 ∫(x^2)exp(kx)dx RHS = Dk (exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ]) = x exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ] + exp(kx) [ -x k^(-2) + 2k^(-3) ] = exp(kx) [x^2 k^(-1) - 2x k^(-2) + 2k^(-3)] 最後再把 k 代回去就可以啦~ 這招在 exp 上面是 x^2 的時候也很常用 --

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