※ 引述《theory (真好人˙希尔瑞)》之铭言： : ※ 引述《karena817 (Karena)》之铭言： : : 题目是 : : The ground-state wavefunction of a hydrogen atom is : : http://tinyurl.com/ypbgqa (不好意思,不会用电脑打) : : where a0 =53pm(the bohr radius) : : calculate the probability that the electron will be found within a small : : sphere of radius 1.0pm centred on the nucleus. : : 知道是要用Ψ*Ψ : : 但是後面的积分部分却不知道该怎麽处理 = = : : 麻烦有算过这题的版友指导一下 : : 谢谢 : 不好意思之前想太快弄错了 orz : 所以导了一个积分公式，不知道对不对..(定性上看起来是对的啦 @@) : R : ∫(r^2)exp(-ar)dr = [2/(a^3)] - exp(-ar){[(R^2)/a]+[2R/(a^2)]+[2/(a^3)]} : 0 : 有限上界正比於 R，exponential 里的 a 代换成 2/a0 : 其他正比常数另外乘上....有错请指教 orz 这题可以用分部积分 但也有取巧不用硬积的技巧: ∫(x^2)exp(kx)dx 我们知道 ∫exp(kx)dx = k^(-1) exp(kx) + const. 左边 (LHS) 对 k 微分 (Dk 是对 k 微分的算符) LHS = Dk(∫exp(kx)dx) = ∫x exp(kx)dx (看出其中奥妙了吗XD) 而右边: RHS = Dk (k^(-1) exp(kx) + const.) = -k^(-2) exp(kx) + x k^(-1) exp(kx) = exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ] 然而左边再对 k 微分一次就会得到目标积分式 ∫(x^2)exp(kx)dx RHS = Dk (exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ]) = x exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ] + exp(kx) [ -x k^(-2) + 2k^(-3) ] = exp(kx) [x^2 k^(-1) - 2x k^(-2) + 2k^(-3)] 最後再把 k 代回去就可以啦~ 这招在 exp 上面是 x^2 的时候也很常用 --

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