※ 引述《lemonblue (懼美女症)》之銘言： : 昨天姪子問我一題，說是國中資優班的題目，要寫詳細推導過程。 : 想很久想不出來，上來請教。 : ------------------ 讓我們先假設甲跟乙都是絕頂聰明的人才 具備瞬間列出所有對應資料及急速運算分析的能力 同時擁有鬥心機的爾虞我詐心思 : 1到~100間取兩數Ａ、Ｂ（不包含1及100） 這邊先假設2~99只能選擇兩個不同的(可以選相同的就另外再分析囉) : 甲知道兩數互乘之值、乙知道兩數相加之值，然後有以下對談順序： : (1)甲：我不知道這兩數是多少 這句表示甲手上的積 拆成兩個數 除了1跟自己之外 還有別的複數種組合 這邊你的想法是對的 也就是積不會是兩個質數相乘 : (2)乙：我知道甲不知道是多少 此時乙馬上想到甲手上的積一定不是兩個質數的相乘 所以甲他才這樣說的 而乙拿的是兩數之和 也就是最小2+3=5 最大98+99=197 在這些數之中只要是能拆成兩個質數相加的都不會是乙手上的數 畢竟手上的和拆開只要有一組是兩個質數相加 難保甲就是拿到那組積 那甲不可能說他不知道兩數為何 所以我們要列出5~197 開始將所有兩個質數相加的數去除 根據哥德巴赫猜想:任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和 還有唯一一個為偶數的質數是2 所以所有"質數+2"的數也都要去掉 最後剩下11,17,23,27,37,41,47.......197是乙手上的和的可能 : (3)甲：我現在知道是多少了 但此時甲聽了乙說的話 也同時明白了我們剛剛站在乙的角度的分析 也就是乙手上的兩數之和拆開成兩個數的組合裡 沒有任何一組是兩個質數相加 甲馬上反過來利用這件事 舉個例子 甲手上的積如果是18 那他立刻就分解成2*9或3*6 然後他算一下2+9=11 11正是乙手上所持有的和的其中一個可能 3+6=9 但9並不是乙手上的和的可能 因此兩數之和必是11 搭配他手上的兩數之積18 甲馬上就能推論出兩數為2和9 : (4)乙：那我也知道了 這邊是最麻煩的部份了 為什麼乙也跟著知道了呢 畢竟乙手上的只是兩數之和 舉例來說 A.假設乙手上的數是11 他必能拆成2+9或3+8或4+7或5+6 然後推想出甲手上的積是18,24,28,30 如果甲手上的是18 那甲就會拆成2*9或3*6 然後甲剛剛上面的想法乙也就能猜到 所以乙會覺得甲手上的積有可能是18 然而如果甲手上的是24 那甲就會拆成2*12或3*8或4*6 2+12=14 14不在乙的可能裡 3+8=11 11在乙的可能裡 4+6=10 10不在乙的可能裡 這樣甲也能推論出乙手上的是11而說出我知道了 因此乙也有可能認為甲拿的是24 如此一來 基於複數種可能性 乙就不會說出"那我也知道了" 所以乙手上的和不是11 我們又得回到(2)那邊的結論 重來一次 B.假設乙手上的數是17 他必能拆成2+15或3+14或4+13或5+12或6+11或7+10或8+9 然後推想出甲手上的積是30,42,52,60,66,70,72 如果甲手上的是30 那甲就會拆成2*15或3*10或5*6 2+15=17 17在乙的可能裡 3+10=13 13不在乙的可能裡 5+6=11 11在乙的可能裡 這樣甲就不能推論出乙手上的是11或17而說出我知道了 所以甲拿的不可能是30 如果甲手上的是42 那甲就會拆成2*21或3*14或6*7 2+21=23 23在乙的可能裡 3+14=17 17在乙的可能裡 6+7=13 13不在乙的可能裡 這樣甲就不能推論出乙手上的是23或17而說出我知道了 所以甲拿的不可能是42 如果甲手上的是52 那甲就會拆成2*26或4*13 2+26=28 28不在乙的可能裡 4+13=17 17在乙的可能裡 如此一來 甲就能推論出乙手上的是17而說出我知道了 所以甲拿的可能是52 如果甲手上的是60.............................. 請自行進行程式運算下去Orz 也就是說 要讓乙說出"那我也知道了" 必須符合乙手上的和拆成的兩個數 分別相乘的積設為甲手上的積 又要讓甲能反推論回唯一一組和 同時乙也推論出只有一種和會形成這種後續的可能 能確認甲手上唯一的積 符合的數就是答案 : 請問這兩數是？ : 我當時只想到第一步時甲應該可以判斷這兩數至少有一個合數， : 因為兩質相乘很容易就知道是哪兩個。 : 接著一忙就暫時沒去想了。 : 然後比起解題，這題若以教學的立場，可以用什麼概念來教呢？ : （用什麼方法來輔助思考） : 聯集交集之類的嗎？這應該是高中才會用到？ 歡迎大家一起集思廣義 --

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