先解結論：我覺得這個題目沒有漂亮的解法 甚至要"證明"270就是答案，也就是 "對所有比270小的正整數n，必然存在一整數k，k=0~9，n的正因數的個位數都不等於k" 這件事情都有些棘手，寫個程式從1檢查到270當然可行，但有限時間內用紙筆計算呢？ 數學知識可以讓找答案的步驟簡化，但仍然無法很好地"證明"270就是答案 如果我非得要解這題給學生看(真心認為這題對準備指考學測的幫助近乎於0) 我的方法跟原PO會類似，我會先把0~9寫出來，把1劃掉不考慮(1是任何數的因數) 這題必須要有一種動態的想法，答案是寫成質因數分解，但隨時要把數字丟進丟出 起點：2跟5一定要放進去的原因是因為要造出0 但0 1 2 5 這幾個數字彼此相乘(包含2的任何正整數次方)只能造出個位數 0 1 2 4 5 6 8 還缺 3 7 9沒有被cover到所以勢必要引入3 and/or 7 等質數 11或13等更大的質數沒有必要丟進去，因為我們只看個位數 2^a * 3^b * 5^c * 7^d c=1 因為5^2=25個位數還是5 c放2無法多cover更多的個位數 b+d (3跟7的冪次)一定要大於1理由如下： 如果b=1 d=0 3*5個位數還是5，3*2^a個位數還是偶數 (奇數至少有3 7 9 必須cover到) b=0 d=1結果也一樣。所以3或7至少要放兩個(3^2, 7^2, 3*7)進去否則3 7 9 cover不完 偶數的世界先不管，奇數的世界只能奇數去相乘起來(偶數一摻進去就會變成偶數) 要cover 3 7 9就只能靠奇數，但5又靠不住(因為5乘奇數之後個位數都是5) 所以我們就從3^b * 7^d去討論 3的次方(的個位數)：3 9 7 1(1就過頭了，循環到底了) 7的次方(的個位數)：7 9 3 1(同上) 所以要cover 3 7 9三個個位數可以有兩個數字應該會比較小的選擇 (b=3, d=0) => 3^3 (b=2, d=1) => 3^2 * 7 前者比較小，上面是我的思路(有點亂，而且不先看到答案的話可能一時找不出來) 把上述思路事後諸葛一下，從觀察到 2 5 一定要放進去答案的質因數分解之後 可以不用管要如何去cover 0 2 4 6 8等偶數，因為 (1 3 5 7 9)*2之後個位數就是02468 這麼說13579都有製造出來後02468結尾的因數自然就出來了 13579之中5跟1又可以不必討論，5耍封閉所以一定要有5(但只要1次方就夠了) 剩下379就想辦法用 3^b * 7^d去討論，但是要找"最小值"的必要條件是"有上界" 必須要有一點整數論的了解才會知道說3的次方數(b)不用找到很大 ===== 所以我會覺得這不是一個好的考題，所用到的知識過於瑣碎沒有系統解題又耗時 不是要陰謀論但除非學生程度超標，否則實戰寫得出來的可能只有"已經先做過"的學生 會出這樣題目的老師有幾種可能性： --不想讓人考100 --想抓出考100的人 (就像有部電影壞人不斷製造災難是為了要揪出死不了的布魯斯威利) --有在外面開班，想製造獨門考題 ※ 引述《stevenyenyen (steven)》之銘言： : 這次學生段考題目 : 且這題是計算題 : 所以我不太能理解計算題該怎解 : 某一數其所有因數之個位數包含0~9,請問某數其最小值為何? : 學生學校老師解法: : [9,10]=90 : 90*3=270 : 看完這兩步驟我只有一個念頭 : 我國中數學全忘了嗎? : 為什麼這樣就有答案... : 問過學生 : 學生答不出所以然 : 我的解法 : 將某數作質因數分解 : 可得某數=(2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d)*................. : 2的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為2 4 8 6 2 4 .... : 3的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為3 9 7 1 3 9 .... : 5的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為5 5 5 5 5 5 .... : 7的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為7 9 3 1 7 9 .... : 題目要求要含所有數字 所以因數分解必含1個5 1個2 (因為這樣才有個位數為5和0的可能) : 而個位數為1的因數即a=b=c=d=0 : 接下來含3的3次方即可擁有3 9 7的個位數因數 : 此時2分別乘以3的0,1,2,3次方個位數就有2 4 8 6 : 因此最小的數為2*3*3*3*5=270 : 但是我不認為這個是國一的計算題該寫的過程... : 即使是高中也應該不會有才對 : 個人感覺這題適合的應該是填充題而非計算題才對.. : 想請問有強者可以用國一學生能理解的方式解這題嗎? : 或者幫忙解釋一下學生學校老師的解法... : 因為看到這題我第一直覺就是這樣解 : 但不太認為國一學生能理解這種解法.. --

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