先解结论：我觉得这个题目没有漂亮的解法 甚至要"证明"270就是答案，也就是 "对所有比270小的正整数n，必然存在一整数k，k=0~9，n的正因数的个位数都不等於k" 这件事情都有些棘手，写个程式从1检查到270当然可行，但有限时间内用纸笔计算呢？ 数学知识可以让找答案的步骤简化，但仍然无法很好地"证明"270就是答案 如果我非得要解这题给学生看(真心认为这题对准备指考学测的帮助近乎於0) 我的方法跟原PO会类似，我会先把0~9写出来，把1划掉不考虑(1是任何数的因数) 这题必须要有一种动态的想法，答案是写成质因数分解，但随时要把数字丢进丢出 起点：2跟5一定要放进去的原因是因为要造出0 但0 1 2 5 这几个数字彼此相乘(包含2的任何正整数次方)只能造出个位数 0 1 2 4 5 6 8 还缺 3 7 9没有被cover到所以势必要引入3 and/or 7 等质数 11或13等更大的质数没有必要丢进去，因为我们只看个位数 2^a * 3^b * 5^c * 7^d c=1 因为5^2=25个位数还是5 c放2无法多cover更多的个位数 b+d (3跟7的幂次)一定要大於1理由如下： 如果b=1 d=0 3*5个位数还是5，3*2^a个位数还是偶数 (奇数至少有3 7 9 必须cover到) b=0 d=1结果也一样。所以3或7至少要放两个(3^2, 7^2, 3*7)进去否则3 7 9 cover不完 偶数的世界先不管，奇数的世界只能奇数去相乘起来(偶数一掺进去就会变成偶数) 要cover 3 7 9就只能靠奇数，但5又靠不住(因为5乘奇数之後个位数都是5) 所以我们就从3^b * 7^d去讨论 3的次方(的个位数)：3 9 7 1(1就过头了，循环到底了) 7的次方(的个位数)：7 9 3 1(同上) 所以要cover 3 7 9三个个位数可以有两个数字应该会比较小的选择 (b=3, d=0) => 3^3 (b=2, d=1) => 3^2 * 7 前者比较小，上面是我的思路(有点乱，而且不先看到答案的话可能一时找不出来) 把上述思路事後诸葛一下，从观察到 2 5 一定要放进去答案的质因数分解之後 可以不用管要如何去cover 0 2 4 6 8等偶数，因为 (1 3 5 7 9)*2之後个位数就是02468 这麽说13579都有制造出来後02468结尾的因数自然就出来了 13579之中5跟1又可以不必讨论，5耍封闭所以一定要有5(但只要1次方就够了) 剩下379就想办法用 3^b * 7^d去讨论，但是要找"最小值"的必要条件是"有上界" 必须要有一点整数论的了解才会知道说3的次方数(b)不用找到很大 ===== 所以我会觉得这不是一个好的考题，所用到的知识过於琐碎没有系统解题又耗时 不是要阴谋论但除非学生程度超标，否则实战写得出来的可能只有"已经先做过"的学生 会出这样题目的老师有几种可能性： --不想让人考100 --想抓出考100的人 (就像有部电影坏人不断制造灾难是为了要揪出死不了的布鲁斯威利) --有在外面开班，想制造独门考题 ※ 引述《stevenyenyen (steven)》之铭言： : 这次学生段考题目 : 且这题是计算题 : 所以我不太能理解计算题该怎解 : 某一数其所有因数之个位数包含0~9,请问某数其最小值为何? : 学生学校老师解法: : [9,10]=90 : 90*3=270 : 看完这两步骤我只有一个念头 : 我国中数学全忘了吗? : 为什麽这样就有答案... : 问过学生 : 学生答不出所以然 : 我的解法 : 将某数作质因数分解 : 可得某数=(2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d)*................. : 2的1,2,3,4,5,6....次方个位数分别为2 4 8 6 2 4 .... : 3的1,2,3,4,5,6....次方个位数分别为3 9 7 1 3 9 .... : 5的1,2,3,4,5,6....次方个位数分别为5 5 5 5 5 5 .... : 7的1,2,3,4,5,6....次方个位数分别为7 9 3 1 7 9 .... : 题目要求要含所有数字 所以因数分解必含1个5 1个2 (因为这样才有个位数为5和0的可能) : 而个位数为1的因数即a=b=c=d=0 : 接下来含3的3次方即可拥有3 9 7的个位数因数 : 此时2分别乘以3的0,1,2,3次方个位数就有2 4 8 6 : 因此最小的数为2*3*3*3*5=270 : 但是我不认为这个是国一的计算题该写的过程... : 即使是高中也应该不会有才对 : 个人感觉这题适合的应该是填充题而非计算题才对.. : 想请问有强者可以用国一学生能理解的方式解这题吗? : 或者帮忙解释一下学生学校老师的解法... : 因为看到这题我第一直觉就是这样解 : 但不太认为国一学生能理解这种解法.. --

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