作者slowcloud ( 歲月催人跑 )
看板CS_TEACHER
標題[請益] 數學推導謬誤處
時間Mon Feb 10 22:08:15 2014
題目： b＋c c＋a a＋b
設 ─── ＝ ─── ＝ ─── ＝ k ， k ≠ 0
a b c
若 a＋b＋c＝0 ， 求 k 的值？
【錯誤解】： ╭ b＋c ＝ ak
├ c＋a ＝ bk
╰ a＋b ＝ ck （＋
───────────
2a ＋ 2b ＋ 2c ＝ ak ＋ bk ＋ ck
2 (a＋b＋c) ＝ k (a＋b＋c)
2 × 0 ＝ k × 0
0 ＝ k × 0
∴ k ＝ 無限多解 ( k≠0 )
( 當 a＋b＋c≠0 時，用這解法就沒什麼問題，可解出 k＝2 )
0
【註】：感覺出錯關鍵在 0 ＝ k x 0 ，若 ∵ 0 ＝ k x 0 ∴ k＝ ──(無意義)
0
這樣也不大對，因為等量公理左右不能除0，所以不能藉由除0導出無意義結論
這題正確解因該為： -a -b -c
∵ ── ＝ ── ＝ ── ＝ k
a b c
∴ k ＝ -1
想請問上面錯誤解的地方推導和解的方向有那裡不符合數學上定義之處
懇請賜教指點了，非常感謝。
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◆ From: 218.187.115.140
※ 編輯: slowcloud 來自: 218.187.115.140 (02/10 22:10)
※ 編輯: slowcloud 來自: 218.187.115.140 (02/10 22:10)
1F：→ Cloudscape:題目已經給你a+b+c=0 可以令b+c= -a 其他同理帶入 02/10 22:18
2F：→ slowcloud:樓上那就是正確解的方法，只是想知道錯誤解的方法錯在哪 02/10 22:20
3F：→ zonw: 0k=0 k"可能為某個數" 不能說k=任意數... 02/10 22:31
4F：→ qpzmm:你的推論出的答案沒驗算,看看是否真的任意數都可以,畢竟k為 02/10 22:34
5F：→ qpzmm:未知常數... 02/10 22:34
6F：→ qpzmm:計算除非是等價運算,否則一定要驗算..否則你可以得到任意解 02/10 22:36
7F：→ andy87115: 2(a＋b＋c)＝k (a＋b＋c) → 2 ×0＝k ×0 就錯在這裡 02/10 22:36
8F：→ andy87115:因為a＋b＋c＝0 妳不能用等量除法公理消去她 02/10 22:36
9F：→ qpzmm:這樣寫完全沒錯阿.... 02/10 22:37
10F：→ hopeshop:0 ＝ k × 0 接下來是 0 ＝ 0 這是表示你寫出的是恆等式 02/10 22:40
11F：→ hopeshop:也就是說你解題的方式沒有用，求不出k，因為兩邊是恆等的 02/10 22:41
12F：→ hopeshop:寫的計算過程沒有錯，但是對於求解是沒有用的。 02/10 22:42
13F：→ qpzmm:就解法應該代幾個特例去看,不難發現k有唯一解,故k不可能為 02/10 22:44
14F：→ qpzmm:任意數,故應該由其他方向下手.. 02/10 22:45
15F：→ slowcloud:那二元一次聯立方程式兩式加減後變成0x+0y=0 => 0 = 0 02/10 22:55
16F：→ slowcloud:這樣課本上定義它是無限多組解 這樣說法也不大好? 02/10 22:55
17F：→ slowcloud:還要確定驗算帶入任何數都沒問題 才能說它無限多組解 02/10 22:58
18F：→ slowcloud:當然一般情況帶入任何數正常都可以符合聯立方程式 02/10 22:59
19F：→ slowcloud:先感謝樓上各位大大解答 有點似乎懂那邏輯了 02/10 23:00
20F：→ hopeshop:應該說是 L1-L2=0 => 0 = 0 表示 L1本來就是L2，兩直線 02/10 23:00
21F：→ hopeshop:重合，所以才造成無限多組解 02/10 23:00
22F：→ slowcloud:那今天如果單純一個式子0 ＝ k × 0 可以說k=任意數? 02/10 23:03
23F：→ slowcloud:喔 想通了 就像 2x=6 => 2x*0=6*0 =>0x=0 =>x=任意數 02/10 23:09
24F：→ hopeshop:對於等式其實有兩種看法。一個是恆等式，一個是條件等式 02/10 23:10
25F：→ hopeshop:一般來說如果是指式子的相等，像0=0或是ax+b=2x+3恆等式 02/10 23:12
26F：→ hopeshop:的看法，相對應的係數要相等。代入任意x值，都要相等。 02/10 23:13
27F：→ hopeshop:條件等式指的就像2x+1=3，解方程式這種，x本身的值被 02/10 23:14
28F：→ hopeshop:限制住，所以用等量公理求取未知數x。而不是用代值去看。 02/10 23:16
29F：→ slowcloud:非常謝謝hope大指點，這種常被忽略的看似簡單的東西 02/10 23:21
30F：→ slowcloud:其實還是有很多需要深研的 02/10 23:21