作者kch0520 (prince0520)
看板CS_TEACHER
標題Re: [請益] 高中數學
時間Wed Apr 18 05:18:29 2012
※ 引述《navicrops (......)》之銘言：
: 空間中一點 (1,2,3)
: 一平面過此點且和三軸所圍成的四面體體積最小
: 求此平面為何 ?
: 答案為 6x+3y+2z = 18
: 我的方式會利用到算幾不等式
: 設此平面為 ax+by+cz = (a+2b+3c)
: 過三軸的交點分別為 ((a+2b+3c)/a,0,0)...
: 再利用算幾有最小值時 a=2b=3c 下去求解
: 不知道有沒有其他想法
: 謝謝 ^^
假定在第一掛線交於(a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)a、b、c均為正數
四面體體積最小為abc/6
平面截距式為(x/a)+(y/b)+(z/c)=1
帶入平面上的點 (1,2,3)得到(1/a)+(2/b)+(3/c)=1.....(#)
要找abc/6最小值 同等找6/abc最大值
利用算幾不等式(1/3)[(1/a)+(2/b)+(3/c)]>=(6/abc)^1/3
當等號成立時 1/a=2/b=3/c
假設a=k b=2k c=3k帶入(#) 得到k=3
因此平面截距式為(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
速解方式為:
利用通過的點為重心的觀念
因為(x'/a)=(y'/b)=(z'/c)=1/3
因此假設平面截距式為(x/3x')+(y/3y')+(z/3z')=1
已知x'=1 y'=2 z'=3帶入
得到(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
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◆ From: 180.218.37.120
1F：推 shenasu:為什麼是重心?? 可以想像 但怎麼證明? 04/18 12:59
2F：推 Kivin:重心的證明就是算幾不等式最後的移項.. 04/18 13:22
3F：→ theoculus:那如果題目是二維的呢 04/18 23:03
4F：→ theoculus:給定第一象限定點A ,求過A點且與兩座標軸正向所圍 04/18 23:05
5F：→ theoculus:之三角形有最小面積時 的直線L方程式 04/18 23:05
6F：→ theoculus:還是傾向從算幾不等式解釋。 不然一下重心,一下外心.... 04/18 23:08
7F：推 shenasu:k老師 我想你誤會我的意思了 我可以透過式子發現: 04/18 23:10
8F：→ shenasu:(1,2,3)=1/3*[(3,0,0)+(0,6,0)+(0,0,9)] 得知 其為重心G 04/18 23:11
9F：→ shenasu:0G=1/3*[OA+OB+OC] 但這樣可以算證明嗎?? 是否可以直接證: 04/18 23:12
10F：→ shenasu:已知空間中通(a,b,c)之交面截於三軸後 所形成之最小六面體 04/18 23:14
11F：→ shenasu:試證(a,b,c)為截面之三角形之重心座標 04/18 23:14
12F：推 Kivin:你把(1,2,3)換成(a,b,c)整題重寫一遍就是證明了=.= 04/19 09:55