作者kch0520 (prince0520)
看板CS_TEACHER
标题Re: [请益] 高中数学
时间Wed Apr 18 05:18:29 2012
※ 引述《navicrops (......)》之铭言：
: 空间中一点 (1,2,3)
: 一平面过此点且和三轴所围成的四面体体积最小
: 求此平面为何 ?
: 答案为 6x+3y+2z = 18
: 我的方式会利用到算几不等式
: 设此平面为 ax+by+cz = (a+2b+3c)
: 过三轴的交点分别为 ((a+2b+3c)/a,0,0)...
: 再利用算几有最小值时 a=2b=3c 下去求解
: 不知道有没有其他想法
: 谢谢 ^^
假定在第一挂线交於(a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)a、b、c均为正数
四面体体积最小为abc/6
平面截距式为(x/a)+(y/b)+(z/c)=1
带入平面上的点 (1,2,3)得到(1/a)+(2/b)+(3/c)=1.....(#)
要找abc/6最小值 同等找6/abc最大值
利用算几不等式(1/3)[(1/a)+(2/b)+(3/c)]>=(6/abc)^1/3
当等号成立时 1/a=2/b=3/c
假设a=k b=2k c=3k带入(#) 得到k=3
因此平面截距式为(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
速解方式为:
利用通过的点为重心的观念
因为(x'/a)=(y'/b)=(z'/c)=1/3
因此假设平面截距式为(x/3x')+(y/3y')+(z/3z')=1
已知x'=1 y'=2 z'=3带入
得到(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 180.218.37.120
1F：推 shenasu:为什麽是重心?? 可以想像 但怎麽证明? 04/18 12:59
2F：推 Kivin:重心的证明就是算几不等式最後的移项.. 04/18 13:22
3F：→ theoculus:那如果题目是二维的呢 04/18 23:03
4F：→ theoculus:给定第一象限定点A ,求过A点且与两座标轴正向所围 04/18 23:05
5F：→ theoculus:之三角形有最小面积时 的直线L方程式 04/18 23:05
6F：→ theoculus:还是倾向从算几不等式解释。 不然一下重心,一下外心.... 04/18 23:08
7F：推 shenasu:k老师 我想你误会我的意思了 我可以透过式子发现: 04/18 23:10
8F：→ shenasu:(1,2,3)=1/3*[(3,0,0)+(0,6,0)+(0,0,9)] 得知 其为重心G 04/18 23:11
9F：→ shenasu:0G=1/3*[OA+OB+OC] 但这样可以算证明吗?? 是否可以直接证: 04/18 23:12
10F：→ shenasu:已知空间中通(a,b,c)之交面截於三轴後 所形成之最小六面体 04/18 23:14
11F：→ shenasu:试证(a,b,c)为截面之三角形之重心座标 04/18 23:14
12F：推 Kivin:你把(1,2,3)换成(a,b,c)整题重写一遍就是证明了=.= 04/19 09:55