作者doa2 (邁向名師之路)
看板CS_TEACHER
標題Re: [請益] 挑戰數學競賽試題一題...
時間Thu Dec 24 00:04:12 2009
※ 引述《spencer05 (簡單生活)》之銘言：
: 題目如下面網頁連結所示:
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=eplabteg&b=3&f=1440499605&p=0
: 要求斜線部分的面積?
: (就是在內切圓內的斜線部分面積,不包括凸出圓外那兩個小三角塊)
: 個人想法如下:
: 利用 兩個扇形面積 減掉 內切圓的面積
: = 所求中間斜線面積 + (正方形 減 內切圓的面積) + 凸出圓外那兩個小三角塊
: ^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 不管怎麼樣切割 就是沒辦法單獨切割算出中間的斜線面積...
: 都一定會跟凸出圓外那兩個小三角塊的面積連結在一起
: 以前有算過(中間的斜線+凸出圓外那兩個小三角塊的面積)這種的題目
: 這種比較簡單 只要用兩個扇形面積 減掉 正方形的面積就可以得到
: 但這一題 只要中間的斜線面積 不要凸出圓外那兩個小三角塊的面積
: 想了很久 就是沒辦法把兩者切割開來...
: 所以上來請教大家是否有不同的想法 還是題目的條件不夠呢?
: 謝謝大家的幫忙!
這題其實是可算的 不過在BBS上實在很難解釋(沒圖)
大家加減看 首先假定正方形左下角的點為A 內切圓的圓心為O
內切圓與大弧所交的右邊偏上方的那個點為B偏下方者為C 延長OA與內切圓交於D
那麼OBC的面積=扇形ABD-三角形AOB
_
重點在角OAB並不是個特殊角 OA=5／2 OB=5 AB=10
_ __
由餘弦定理可算出cos角OAB=(5／2)/8 sin角OAB=／14 /8
-1 _ _
因此可算出OBC面積=(1/2)10^2*cos [5／2)/8] - (1/2)(5／2)(10)sin角OAB
-1 _ _
=50cos [(5／2)/8] - (25／7)/4
接著算扇形OBC
角BOC=180度-2*角BOD = 180度-2(180度-角BOA)=2*角BOA-180度
_
又由餘弦定理得cos角BOA=-1/(2／2)
則cos(2*角BOA)=2(1/8)-1=-3/4 (兩倍角公式)
故cos(2*角BOA-180度)=3/4
-1 -1
則扇形BOC面積=(1/2)5^2*cos (3/4)=25cos (3/4)
-1 _ _ -1
最後答案應為4*OBC+2*BOC = 200 cos[(5／2)/8] - 25／7 + 25cos (3/4)
(如果我沒計算錯的話XD)
之前有試過用圓的方程式去做 找交點
不過反正確定角度不是特殊角..
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※ 編輯: doa2 來自: 140.112.218.65 (12/24 00:06)
1F：推 vocation:這麼晚了 看到我眼睛都花了 XD 12/24 00:28
2F：推 bonniekiss2:我跟你算不一樣耶 12/24 10:21
3F：推 bonniekiss2:我知道了.. 你的扇形面積公式是不是少加上1/2 12/24 10:27
4F：→ bonniekiss2:我的答案是 200cos... - 25(√7) + 25cos... 12/24 10:29
5F：→ bonniekiss2:記得以前寫這題是高二的時候?? 12/24 10:31
6F：→ doa2:喔對 剛剛算太快了 12/24 11:45
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7F：→ doa2:這題好像去年有人拿來問我 但現在高中不交反三角.. 12/24 11:47
8F：推 bonniekiss2:現在高中數學沒有反三角了?! 12/24 12:57
9F：推 vocation:沒有啊 簡化很多了 12/24 15:15
10F：推 tigerbojo:歡迎來數學版[MATH]討論. 12/28 00:06