作者doa2 (迈向名师之路)
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标题Re: [请益] 挑战数学竞赛试题一题...
时间Thu Dec 24 00:04:12 2009
※ 引述《spencer05 (简单生活)》之铭言：
: 题目如下面网页连结所示:
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=eplabteg&b=3&f=1440499605&p=0
: 要求斜线部分的面积?
: (就是在内切圆内的斜线部分面积,不包括凸出圆外那两个小三角块)
: 个人想法如下:
: 利用 两个扇形面积 减掉 内切圆的面积
: = 所求中间斜线面积 + (正方形 减 内切圆的面积) + 凸出圆外那两个小三角块
: ^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 不管怎麽样切割 就是没办法单独切割算出中间的斜线面积...
: 都一定会跟凸出圆外那两个小三角块的面积连结在一起
: 以前有算过(中间的斜线+凸出圆外那两个小三角块的面积)这种的题目
: 这种比较简单 只要用两个扇形面积 减掉 正方形的面积就可以得到
: 但这一题 只要中间的斜线面积 不要凸出圆外那两个小三角块的面积
: 想了很久 就是没办法把两者切割开来...
: 所以上来请教大家是否有不同的想法 还是题目的条件不够呢?
: 谢谢大家的帮忙!
这题其实是可算的 不过在BBS上实在很难解释(没图)
大家加减看 首先假定正方形左下角的点为A 内切圆的圆心为O
内切圆与大弧所交的右边偏上方的那个点为B偏下方者为C 延长OA与内切圆交於D
那麽OBC的面积=扇形ABD-三角形AOB
_
重点在角OAB并不是个特殊角 OA=5／2 OB=5 AB=10
_ __
由余弦定理可算出cos角OAB=(5／2)/8 sin角OAB=／14 /8
-1 _ _
因此可算出OBC面积=(1/2)10^2*cos [5／2)/8] - (1/2)(5／2)(10)sin角OAB
-1 _ _
=50cos [(5／2)/8] - (25／7)/4
接着算扇形OBC
角BOC=180度-2*角BOD = 180度-2(180度-角BOA)=2*角BOA-180度
_
又由余弦定理得cos角BOA=-1/(2／2)
则cos(2*角BOA)=2(1/8)-1=-3/4 (两倍角公式)
故cos(2*角BOA-180度)=3/4
-1 -1
则扇形BOC面积=(1/2)5^2*cos (3/4)=25cos (3/4)
-1 _ _ -1
最後答案应为4*OBC+2*BOC = 200 cos[(5／2)/8] - 25／7 + 25cos (3/4)
(如果我没计算错的话XD)
之前有试过用圆的方程式去做 找交点
不过反正确定角度不是特殊角..
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.218.65
※ 编辑: doa2 来自: 140.112.218.65 (12/24 00:06)
1F：推 vocation:这麽晚了 看到我眼睛都花了 XD 12/24 00:28
2F：推 bonniekiss2:我跟你算不一样耶 12/24 10:21
3F：推 bonniekiss2:我知道了.. 你的扇形面积公式是不是少加上1/2 12/24 10:27
4F：→ bonniekiss2:我的答案是 200cos... - 25(√7) + 25cos... 12/24 10:29
5F：→ bonniekiss2:记得以前写这题是高二的时候?? 12/24 10:31
6F：→ doa2:喔对 刚刚算太快了 12/24 11:45
※ 编辑: doa2 来自: 140.112.218.65 (12/24 11:46)
7F：→ doa2:这题好像去年有人拿来问我 但现在高中不交反三角.. 12/24 11:47
8F：推 bonniekiss2:现在高中数学没有反三角了?! 12/24 12:57
9F：推 vocation:没有啊 简化很多了 12/24 15:15
10F：推 tigerbojo:欢迎来数学版[MATH]讨论. 12/28 00:06