作者AlanShore (美國海岸巡防隊)
看板CS_TEACHER
標題[請益] 一題三角形的題目
時間Tue Dec 2 23:25:37 2008
今天翻到一個題目，但是竟然卡住想不出來，
偏偏又剛好找不到那個題目的解答，因此上來向板上高手老師請教。
問題是這樣:
三角形ABC的周長為60，
__ __ __
內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小，
__ __ __
則AP+BP+CP=?
謝謝各位高手的指點。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.121.5.143
1F：→ cutebeauty:又是P 重心垂心中心等等等永遠分不清楚 冏 12/02 23:31
2F：→ cutebeauty:我是說我~~~我是數學白癡 :P 12/02 23:32
3F：→ AlanShore:我是想要知道答案，個人是覺得條件可能不足，但我想應該 12/02 23:33
4F：→ AlanShore:有高手可以解答~~ 12/02 23:34
5F：推 IvanL:應該不是國中的三心~~~~也不是垂心 12/02 23:34
6F：推 kkabcd:是...內接圓 圓心P 吧 ， 第一感 ，很久沒算了 12/02 23:35
7F：→ kkabcd:不知道對還是不對...XD 12/02 23:36
8F：推 melances: 重心吧= =....雖然我不是數學老師... 12/02 23:38
9F：推 qoopeter:我想到的是外接圓圓心耶XD 到三頂點距離相等~~ 12/02 23:38
10F：→ cutebeauty:還有外接圓耶 更冏 高手快出來~ 12/02 23:40
11F：推 kkabcd:印象中... 內接圓到三邊距離最短 12/02 23:40
12F：→ kkabcd:ㄜ...是外接圓 因為是三頂點到P吧 12/02 23:40
13F：推 IvanL:內接圓是到三邊，不是到三頂點~~~~所以內心不是 12/02 23:41
14F：→ IvanL:另，他說是在三角形內部~所以也不會是外接圓(外心) 12/02 23:41
15F：→ kkabcd:題目說AP+BP+CP為最小 所以是外接圓圓心 12/02 23:42
16F：→ kkabcd:囧..不是喔... 那我數學變差了 12/02 23:42
17F：→ kkabcd:題目是不是 正三角形就有答案了XD.. 12/02 23:43
18F：推 dannisku:三角形內一點到三頂點距離和，小於周長，大於周長之半.. 12/02 23:44
19F：推 nikenight:忍不住想說 是內切圓 不是內接圓..^^" 12/02 23:44
20F：推 IvanL:誤打XD~~~ㄐ跟ㄑ差一點XDXD~~~ 12/02 23:45
21F：推 kkabcd:XD... 是內切嗎? 12/02 23:45
22F：→ dannisku:看到這一題腦袋閃過這個性質@@，剛吃完宵夜，等等再想.:P 12/02 23:45
23F：推 vincent1234:是求值還是求範圍??我也只知道他們會大於30! 12/02 23:50
24F：推 melances:20√3 應該? 12/02 23:50
25F：推 ptrpan:３０ 12/03 00:01
26F：推 YuChHa:這題可以旋轉三角形證明 反正 反正P點到三頂點夾角皆120度 12/03 00:03
27F：推 YuChHa:20√3 沒錯 ^^ 12/03 00:06
28F：推 coco100:還需要想嗎??答案就是20√3沒錯呀!!第五冊第三章第三節 12/03 00:07
29F：→ cutebeauty:摳摳你好狠喔~~ 怎麼這樣啦 我沒課本ㄋㄟ 12/03 00:11
30F：→ melances:專業的出現了><樓上幾個專業 12/03 00:12
31F：→ ptrpan:答20√3的大大們，如果是16/16/28的三角形我就已經看到更小 12/03 00:12
32F：推 coco100:16/16/28是鈍角三角形 P會在外面 12/03 00:14
33F：推 ptrpan:COCO大～題目沒要求要什麼心..........為啥要跑去外面 12/03 00:15
34F：→ coco100:題目說△ABC內部一點P 只有銳角三角形才可以 12/03 00:15
35F：→ ptrpan:.......................鈍角三角形內部不能有點Ｐ？ 12/03 00:16
36F：→ coco100:正三角形的外接圓會有最小值 即r有最小值r=PA=PB=PC 12/03 00:16
37F：→ coco100:鈍角三角形內部找不到一點P使得PA=PB=PC 懂嗎?? 12/03 00:18
38F：推 handsomecat3:不一定是20√3，三角形不一定是正三角形。 12/03 00:19
39F：→ ptrpan:coco大～題目也沒要求PAPBPC相等啊... 12/03 00:19
40F：→ coco100:鈍角三角形要在外部才能找一點P使得r=PA=PB=PC 12/03 00:19
41F：→ handsomecat3:請用GOOGLE搜尋"費馬點"。 12/03 00:19
42F：→ coco100:要使得PA+PB+PC有最小值必須是PA=PB=PC 12/03 00:20
43F：推 ptrpan:我的看法是三角形越接近15/15/30，PAPBPC和越接近３０ 12/03 00:21
44F：→ AlanShore:題目並沒有說是正三角形，這才是我問題所在... 12/03 00:22
45F：→ AlanShore:個人直覺就是條件不足以解出答案，應該是題目出錯。 12/03 00:22
46F：推 coco100:題目不需要跟你說它是正三角形 你要自己判斷 12/03 00:23
47F：推 ptrpan:那...事實上也真的找得到小於20√3的情況啊...coco大～ 12/03 00:24
48F：→ AlanShore:可以請coco老師貼一下詳解嗎?萬分感激! 12/03 00:26
49F：推 coco100:簡單來說就是求正三角形的外接圓半徑 12/03 00:30
50F：推 handsomecat3:這題根本跟外心扯不上關係，是費馬點! 12/03 00:30
51F：→ AlanShore:如果是求正三角形外接圓半徑當然就是20√3，問題是如何 12/03 00:31
52F：→ AlanShore:得知這是正三角形呢? 12/03 00:31
53F：→ cutebeauty:可以各自貼做法回文一篇嗎? 降吵誰看得懂啊 12/03 00:31
54F：→ AlanShore:可以請解出來的老師回詳解嗎? 感恩! 12/03 00:31
55F：推 dannisku:coco 誤會題目了吧..題目應是"對任意的周長為60的三角形" 12/03 00:31
56F：→ cutebeauty:你們的任務就是要把我這個數學白癡教會~~ 才是真本事 12/03 00:31
57F：→ coco100:請利用兩邊和大於第三邊 可以證出銳角三角形的外接圓最小 12/03 00:32
58F：→ coco100:我沒誤會題目呀~~~ 12/03 00:33
59F：推 ptrpan:可愛大～沒人在吵～coco大可是很專業的～ 12/03 00:33
60F：推 dannisku:這題跟外接圓無關. 12/03 00:33
61F：→ coco100:內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小 <==這句話可以判斷 12/03 00:34
62F：→ coco100:AP=BP=CP=R外接圓半徑 可以使AP+BP+CP有最小值 12/03 00:35
63F：→ coco100:其中銳角三角形的外接圓半徑是最小的 12/03 00:35
64F：→ coco100:銳角三角形中的正三角形 可以讓AP+BP+CP為最小 12/03 00:36
65F：推 dannisku:上面有老師說了，這是費瑪點問題，P跟著三角形內角而變動 12/03 00:36
66F：→ dannisku:若有一內角不小於120度，則P在該內角的頂點 12/03 00:37
67F：→ dannisku:若三內角均小於120度，才是coco大的解法.. 12/03 00:38
69F：推 ptrpan:我懂了，coco大的觀點是外接圓半徑是題目最小值 與 鈍＞銳 12/03 00:38
70F：推 coco100:費瑪點應該不是國高中生教材有教過的東西吧~~ 12/03 00:39
71F：→ ptrpan:矛盾的地方在於雖然鈍角三角形的外接圓半徑和 大於 銳角三 12/03 00:40
72F：→ ptrpan:但是不表示鈍角三角形內部就找不到其他點可以讓 APBPCP更小 12/03 00:40
73F：→ AlanShore:所以有一角大於120度跟三 個角均小於120的答案各是多少? 12/03 00:40
74F：→ AlanShore:所以我才要問到底是不是題目出錯... 12/03 00:41
75F：→ AlanShore:費馬點以前高中數學的學資有提過。 12/03 00:42
76F：推 coco100:先去睡覺了 明天再看看有什麼欠思考遺漏的地方 大家晚安 12/03 00:44
77F：推 dannisku:以這題的出法，條件只夠解出如coco大的答案吧 12/03 00:44
78F：→ ptrpan:我還是覺得是３０.００００００００００００００００００１ 12/03 00:45
79F：→ AlanShore:ptr應該是對的...剛去找到同一題，是選擇...它答案是31~ 12/03 00:47
80F：→ AlanShore:其他答案不是比30小就是比31大，看來是題目設計欠妥。 12/03 00:47
81F：→ AlanShore:很感謝各為老師熱情的討論，這裡真的很有溫暖。 12/03 00:50
82F：推 ptrpan:不客氣～有問題就討論討論吧～ 12/03 00:53
83F：推 andygenisu:dannisku正解 12/03 01:09
84F：推 monkeyy:如果是選擇題的話 請找比30大又最小的答案 12/03 03:44
85F：→ monkeyy:理由是 AP+BP>AB 12/03 03:44
86F：→ monkeyy: BP+CP>BC 12/03 03:45
87F：→ monkeyy: AP+CP>AC => 2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA=60 12/03 03:46
88F：→ monkeyy:所以 AP+BP+CP>30 上面的解釋只用三角形兩邊和大於第三邊 12/03 03:47
89F：→ monkeyy:以正常國中程度來說 應該是比較容易的解釋方法 12/03 03:47
90F：→ monkeyy:當然選項只有一個大於30最好。 12/03 03:48
92F：→ AlanShore:感謝樓上 12/03 12:58
93F：推 coco100:所以這題沒有正確答案 只能說大於30的最小值囉?? 12/03 13:01
94F：推 Yrneh:你已經說出正確答案了 = = 12/03 23:19