作者AlanShore (美国海岸巡防队)
看板CS_TEACHER
标题[请益] 一题三角形的题目
时间Tue Dec 2 23:25:37 2008
今天翻到一个题目，但是竟然卡住想不出来，
偏偏又刚好找不到那个题目的解答，因此上来向板上高手老师请教。
问题是这样:
三角形ABC的周长为60，
__ __ __
内有一点P，如欲使AP+BP+CP为最小，
__ __ __
则AP+BP+CP=?
谢谢各位高手的指点。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 59.121.5.143
1F：→ cutebeauty:又是P 重心垂心中心等等等永远分不清楚 冏 12/02 23:31
2F：→ cutebeauty:我是说我~~~我是数学白痴 :P 12/02 23:32
3F：→ AlanShore:我是想要知道答案，个人是觉得条件可能不足，但我想应该 12/02 23:33
4F：→ AlanShore:有高手可以解答~~ 12/02 23:34
5F：推 IvanL:应该不是国中的三心~~~~也不是垂心 12/02 23:34
6F：推 kkabcd:是...内接圆 圆心P 吧 ， 第一感 ，很久没算了 12/02 23:35
7F：→ kkabcd:不知道对还是不对...XD 12/02 23:36
8F：推 melances: 重心吧= =....虽然我不是数学老师... 12/02 23:38
9F：推 qoopeter:我想到的是外接圆圆心耶XD 到三顶点距离相等~~ 12/02 23:38
10F：→ cutebeauty:还有外接圆耶 更冏 高手快出来~ 12/02 23:40
11F：推 kkabcd:印象中... 内接圆到三边距离最短 12/02 23:40
12F：→ kkabcd:ㄜ...是外接圆 因为是三顶点到P吧 12/02 23:40
13F：推 IvanL:内接圆是到三边，不是到三顶点~~~~所以内心不是 12/02 23:41
14F：→ IvanL:另，他说是在三角形内部~所以也不会是外接圆(外心) 12/02 23:41
15F：→ kkabcd:题目说AP+BP+CP为最小 所以是外接圆圆心 12/02 23:42
16F：→ kkabcd:囧..不是喔... 那我数学变差了 12/02 23:42
17F：→ kkabcd:题目是不是 正三角形就有答案了XD.. 12/02 23:43
18F：推 dannisku:三角形内一点到三顶点距离和，小於周长，大於周长之半.. 12/02 23:44
19F：推 nikenight:忍不住想说 是内切圆 不是内接圆..^^" 12/02 23:44
20F：推 IvanL:误打XD~~~ㄐ跟ㄑ差一点XDXD~~~ 12/02 23:45
21F：推 kkabcd:XD... 是内切吗? 12/02 23:45
22F：→ dannisku:看到这一题脑袋闪过这个性质@@，刚吃完宵夜，等等再想.:P 12/02 23:45
23F：推 vincent1234:是求值还是求范围??我也只知道他们会大於30! 12/02 23:50
24F：推 melances:20√3 应该? 12/02 23:50
25F：推 ptrpan:３０ 12/03 00:01
26F：推 YuChHa:这题可以旋转三角形证明 反正 反正P点到三顶点夹角皆120度 12/03 00:03
27F：推 YuChHa:20√3 没错 ^^ 12/03 00:06
28F：推 coco100:还需要想吗??答案就是20√3没错呀!!第五册第三章第三节 12/03 00:07
29F：→ cutebeauty:抠抠你好狠喔~~ 怎麽这样啦 我没课本ㄋㄟ 12/03 00:11
30F：→ melances:专业的出现了><楼上几个专业 12/03 00:12
31F：→ ptrpan:答20√3的大大们，如果是16/16/28的三角形我就已经看到更小 12/03 00:12
32F：推 coco100:16/16/28是钝角三角形 P会在外面 12/03 00:14
33F：推 ptrpan:COCO大～题目没要求要什麽心..........为啥要跑去外面 12/03 00:15
34F：→ coco100:题目说△ABC内部一点P 只有锐角三角形才可以 12/03 00:15
35F：→ ptrpan:.......................钝角三角形内部不能有点Ｐ？ 12/03 00:16
36F：→ coco100:正三角形的外接圆会有最小值 即r有最小值r=PA=PB=PC 12/03 00:16
37F：→ coco100:钝角三角形内部找不到一点P使得PA=PB=PC 懂吗?? 12/03 00:18
38F：推 handsomecat3:不一定是20√3，三角形不一定是正三角形。 12/03 00:19
39F：→ ptrpan:coco大～题目也没要求PAPBPC相等啊... 12/03 00:19
40F：→ coco100:钝角三角形要在外部才能找一点P使得r=PA=PB=PC 12/03 00:19
41F：→ handsomecat3:请用GOOGLE搜寻"费马点"。 12/03 00:19
42F：→ coco100:要使得PA+PB+PC有最小值必须是PA=PB=PC 12/03 00:20
43F：推 ptrpan:我的看法是三角形越接近15/15/30，PAPBPC和越接近３０ 12/03 00:21
44F：→ AlanShore:题目并没有说是正三角形，这才是我问题所在... 12/03 00:22
45F：→ AlanShore:个人直觉就是条件不足以解出答案，应该是题目出错。 12/03 00:22
46F：推 coco100:题目不需要跟你说它是正三角形 你要自己判断 12/03 00:23
47F：推 ptrpan:那...事实上也真的找得到小於20√3的情况啊...coco大～ 12/03 00:24
48F：→ AlanShore:可以请coco老师贴一下详解吗?万分感激! 12/03 00:26
49F：推 coco100:简单来说就是求正三角形的外接圆半径 12/03 00:30
50F：推 handsomecat3:这题根本跟外心扯不上关系，是费马点! 12/03 00:30
51F：→ AlanShore:如果是求正三角形外接圆半径当然就是20√3，问题是如何 12/03 00:31
52F：→ AlanShore:得知这是正三角形呢? 12/03 00:31
53F：→ cutebeauty:可以各自贴做法回文一篇吗? 降吵谁看得懂啊 12/03 00:31
54F：→ AlanShore:可以请解出来的老师回详解吗? 感恩! 12/03 00:31
55F：推 dannisku:coco 误会题目了吧..题目应是"对任意的周长为60的三角形" 12/03 00:31
56F：→ cutebeauty:你们的任务就是要把我这个数学白痴教会~~ 才是真本事 12/03 00:31
57F：→ coco100:请利用两边和大於第三边 可以证出锐角三角形的外接圆最小 12/03 00:32
58F：→ coco100:我没误会题目呀~~~ 12/03 00:33
59F：推 ptrpan:可爱大～没人在吵～coco大可是很专业的～ 12/03 00:33
60F：推 dannisku:这题跟外接圆无关. 12/03 00:33
61F：→ coco100:内有一点P，如欲使AP+BP+CP为最小 <==这句话可以判断 12/03 00:34
62F：→ coco100:AP=BP=CP=R外接圆半径 可以使AP+BP+CP有最小值 12/03 00:35
63F：→ coco100:其中锐角三角形的外接圆半径是最小的 12/03 00:35
64F：→ coco100:锐角三角形中的正三角形 可以让AP+BP+CP为最小 12/03 00:36
65F：推 dannisku:上面有老师说了，这是费玛点问题，P跟着三角形内角而变动 12/03 00:36
66F：→ dannisku:若有一内角不小於120度，则P在该内角的顶点 12/03 00:37
67F：→ dannisku:若三内角均小於120度，才是coco大的解法.. 12/03 00:38
69F：推 ptrpan:我懂了，coco大的观点是外接圆半径是题目最小值 与 钝＞锐 12/03 00:38
70F：推 coco100:费玛点应该不是国高中生教材有教过的东西吧~~ 12/03 00:39
71F：→ ptrpan:矛盾的地方在於虽然钝角三角形的外接圆半径和 大於 锐角三 12/03 00:40
72F：→ ptrpan:但是不表示钝角三角形内部就找不到其他点可以让 APBPCP更小 12/03 00:40
73F：→ AlanShore:所以有一角大於120度跟三 个角均小於120的答案各是多少? 12/03 00:40
74F：→ AlanShore:所以我才要问到底是不是题目出错... 12/03 00:41
75F：→ AlanShore:费马点以前高中数学的学资有提过。 12/03 00:42
76F：推 coco100:先去睡觉了 明天再看看有什麽欠思考遗漏的地方 大家晚安 12/03 00:44
77F：推 dannisku:以这题的出法，条件只够解出如coco大的答案吧 12/03 00:44
78F：→ ptrpan:我还是觉得是３０.００００００００００００００００００１ 12/03 00:45
79F：→ AlanShore:ptr应该是对的...刚去找到同一题，是选择...它答案是31~ 12/03 00:47
80F：→ AlanShore:其他答案不是比30小就是比31大，看来是题目设计欠妥。 12/03 00:47
81F：→ AlanShore:很感谢各为老师热情的讨论，这里真的很有温暖。 12/03 00:50
82F：推 ptrpan:不客气～有问题就讨论讨论吧～ 12/03 00:53
83F：推 andygenisu:dannisku正解 12/03 01:09
84F：推 monkeyy:如果是选择题的话 请找比30大又最小的答案 12/03 03:44
85F：→ monkeyy:理由是 AP+BP>AB 12/03 03:44
86F：→ monkeyy: BP+CP>BC 12/03 03:45
87F：→ monkeyy: AP+CP>AC => 2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA=60 12/03 03:46
88F：→ monkeyy:所以 AP+BP+CP>30 上面的解释只用三角形两边和大於第三边 12/03 03:47
89F：→ monkeyy:以正常国中程度来说 应该是比较容易的解释方法 12/03 03:47
90F：→ monkeyy:当然选项只有一个大於30最好。 12/03 03:48
92F：→ AlanShore:感谢楼上 12/03 12:58
93F：推 coco100:所以这题没有正确答案 只能说大於30的最小值罗?? 12/03 13:01
94F：推 Yrneh:你已经说出正确答案了 = = 12/03 23:19