作者daze (一期一會)
看板CFP
標題[心得] 一個估計提領率的近似公式
時間Sun Sep 10 20:30:48 2023
當在討論有多少錢才能退休時， 4% rule 常被提及
不過， 4% rule 是基於 Trinity study
基於美國股債的歷史回報率與30年的固定提領期間
所提出的一個 rule of thumb
如果你的預期提領期間，或對未來報酬率的預期，與 Trinity study 不同
有沒有方法可以估計這個提領率呢?
Milevsky 基於隨機分析(stochastic calculus)提出了一個計算提領率的近似公式:
μ:年化實質報酬率 σ:年化標準差 p:可接受的失敗率 T:中位數餘命
λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2
提領率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒數則得財富倍數 W
GAMMA.INV 是 GAMMA函數的反函數，Excel有提供這個函式，不用自己算。
===
帶入一些數字作為實例:
μ = 6% (目前美國抗通膨債報酬率約 2%，Equity Risk Premium 假設為 4%)
σ = 17% (S&P500 年化標準差約 17%)
T = 30 (中位數餘命假設為30年)
p = 10% (假設可接受 10% 失敗率)
λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260
提領率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
財富倍數 W = 1/(2.99%) = 33.41
按此估計，中位數餘命30年的一個退休者，如將1000萬元全數投入股票
每年提領通膨調整後的 29.9萬，約有 10% 機會在死前花光財產
===
如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提領率則可上升到 3.35%
===
也可以反過來，根據提領率估計失敗率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)
以 4% 提領率來說，如果沿用以上50%股票比重的設定
失敗率的估計是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%
===
Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.212.231 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/CFP/M.1694349054.A.FA8.html
1F：推 weimr: 推 09/10 21:31
2F：→ GigiBuffon: 為什麼你p預設10%但是實例帶5%進去算? 09/10 21:47
謝謝。已更正。
※ 編輯: daze (111.254.212.231 臺灣), 09/10/2023 22:21:18
※ 編輯: daze (111.254.212.231 臺灣), 09/10/2023 22:55:18
3F：→ goldenbee: 請問d大用蒙地卡羅模擬評估提領率是否就不受限 09/11 09:06
4F：→ goldenbee: Trinity study了？例如Portfolio Visualizer 09/11 09:07
蒙地卡羅法是不受限於Trinity study，不過蒙地卡羅法有很多細節可以調整
根據實作方式不同，請自行考慮結果的可信度
Portfolio Visualizer 預設是用Historical return
但也有Parameterized return的選項
跑出來的結果不盡相同
且即使都是用 Historical return
用 simple random sampling 或 block sampling 等細節的選擇
也都可能影響結果
另外，Portfolio Visualizer的蒙地卡羅法是用固定提領期間
如果你知道何時會死，退休規劃就容易多了
Milevsky的這個近似公式則是用stochastic死亡率來做估計
蒙地卡羅法也是可以實作stochastic死亡率
只是 Portfolio Visualizer 在實作時沒有提供這個選項
細節設定合理的話，蒙地卡羅法應該能比近似公式提供更多資訊
只是可以調整的細節有很多，也沒那麼容易就是了
5F：→ daze: Milevsky的公式，在低提領率時會稍微高估失敗率，在高提領率 09/11 10:09
6F：→ daze: 時則會低估失敗率。但在常用的2~4%提領率範圍內，失敗率大概 09/11 10:11
7F：→ daze: 頂多高估1~2%左右，差別並不會很明顯。 09/11 10:12
※ 編輯: daze (60.249.225.18 臺灣), 09/11/2023 11:20:05
8F：推 goldenbee: 感謝d大分享和回覆 09/11 13:52
9F：推 seanidiot: 這似乎也可以說明資產配置(降低sigma)的重要性 09/11 17:33
10F：推 KiraYoshikag: 感謝d大分享，果然不能傻傻地只有投股市而已 >< 09/11 21:23
11F：→ daze: 這是這組參數算出來是這樣。如果你相信ERP有7%，全股就會贏 09/11 21:38
12F：推 toko6290: ERP能理解為考慮通膨後的報酬率嗎？ 09/11 21:45
13F：→ daze: ERP是股票報酬率減掉無風險利率。至於什麼是無風險利率見仁 09/11 21:48
14F：→ daze: 見智，這篇是用美國抗通膨債利率當作無風險利率。 09/11 21:49
※ 編輯: daze (111.254.212.231 臺灣), 09/11/2023 21:51:50
15F：推 aldosterone: 感謝推；是說 1. 主計處似乎沒有公布中位數餘命，不 09/11 23:17
16F：→ aldosterone: 知拿平均作 proxy 誤差如何 2. 實質提領率不隨年齡增 09/11 23:18
17F：→ aldosterone: 加（實務上）也是蠻奇怪的。如果花費是隨時間指數上 09/11 23:18
18F：→ aldosterone: 升，直接把年增率合併計入通膨好像沒什麼問題？ 09/11 23:19
19F：→ daze: 其實是可以從生命表推出中位數餘命的，但用平均餘命也不會差 09/11 23:34
20F：→ daze: 很多。按第十回生命表，男性70歲前中位數餘命會略大於平均餘 09/11 23:37
21F：→ daze: 命，70歲後則會略小於平均餘命。 09/11 23:38
22F：→ daze: 以30歲男性來說，中位數餘命約比平均餘命多3年左右。 09/11 23:39
23F：→ daze: 以規劃50年來說，這個差距應該也還好吧。 09/11 23:40
24F：→ daze: 生命表畢竟是群體值。至於有糖尿病先扣個5年之類的調整，就 09/11 23:45
25F：→ daze: 看個人的健康狀況了。 09/11 23:45
26F：→ daze: 至於2，你說得未必不合理，只是不符合SWR的基礎假設。 09/11 23:53
27F：→ daze: 你如果希望支出增加速度比通膨每年高1%，也可以把μ自行扣1% 09/11 23:54
28F：推 aldosterone: 感謝；關於 1. 看了下原文其實有提： 09/12 00:38
29F：→ aldosterone: E(T) = 1 / λ (4b) 09/12 00:39
30F：→ aldosterone: Median(T) = ln(2) / λ (4c) 09/12 00:39
31F：→ aldosterone: 那會是 ～0.3X 的 deviation；不過同時也有提 expone 09/12 00:39
32F：→ aldosterone: ntial or constant force of mortality assumption 09/12 00:40
33F：→ aldosterone: 的合理性問題；如 d 大所說給個人健康資訊比較大的 09/12 00:41
34F：→ aldosterone: 加權，並對估計保守大概比較實際。 09/12 00:42
35F：→ daze: 由於實際死亡率的分布，用 E(T) = 1 / λ 會高估λ。後者會 09/12 00:47
36F：→ daze: 比較近似。 09/12 00:49
37F：→ daze: 我揣測作者試過前者，發現跟蒙地卡羅法跑出來的結果對不起來 09/12 00:51
38F：→ daze: 才改用後者... 09/12 00:51
39F：推 aldosterone: 即視感 XD；是說如果 E(T) 和 Median(T) 都附上，dis 09/12 12:27
40F：→ aldosterone: cussion 再討論一下落差也挺好的；現在蒙地卡羅的門 09/12 12:28
41F：→ aldosterone: 檻比當年低多了，不過有速算近似對於 grid search 和 09/12 12:28
42F：推 aldosterone: 評估參數對 SWR 影響的穩定度還是挺有幫忙的；另一 09/12 12:29
43F：→ aldosterone: 個延伸的問題是作為 lifecycle investing 的實踐者， 09/12 12:30
44F：→ aldosterone: 如果基於風險趨避所得的 Samuelson share 和基於給定 09/12 12:30
45F：→ aldosterone: SWR 最大化成功率所得的風險資產比不同，不知有什 09/12 12:30
46F：→ aldosterone: 麼調和或選擇的思考歷程？ 09/12 12:31
47F：→ daze: Samuelson share 是基於 morndern portfolio theory，其 09/12 12:47
48F：→ daze: consumption是內生性的。假設理想開銷比是5%，portfolio跌5 09/12 12:47
49F：→ daze: 0%時，你當年度的開銷金額就會減半。 09/12 12:47
50F：→ daze: 反之，這個近似公式的consumption 是外生性的，不管portfol 09/12 12:47
51F：→ daze: io 是漲是跌，你都要維持固定的開銷。大部分人的實際情形大 09/12 12:47
52F：→ daze: 概是落在兩者之間。 09/12 12:47
53F：→ daze: 你的配置要比較偏向前者或後者，就要看你的開銷是偏向彈性 09/12 12:47
54F：→ daze: 還是固定了。 09/12 12:47
55F：→ daze: 另外，如果你用lifecycle investing 的話，除了調整開銷， 09/12 13:25
56F：→ daze: 還有一個可能的選擇是透過調整退休年齡來調整portfolio 價 09/12 13:25
57F：→ daze: 值。這些額外的彈性也可能讓你的配置偏向前者。 09/12 13:25
58F：推 aldosterone: 感謝分享！ 09/12 19:33
59F：→ tony825011: 感謝分享 09/13 23:13
60F：推 iammortal: 推 09/15 19:37
61F：推 pok042000: 感謝分享! 09/19 17:19