作者daze (一期一会)
看板CFP
标题[心得] 一个估计提领率的近似公式
时间Sun Sep 10 20:30:48 2023
当在讨论有多少钱才能退休时， 4% rule 常被提及
不过， 4% rule 是基於 Trinity study
基於美国股债的历史回报率与30年的固定提领期间
所提出的一个 rule of thumb
如果你的预期提领期间，或对未来报酬率的预期，与 Trinity study 不同
有没有方法可以估计这个提领率呢?
Milevsky 基於随机分析(stochastic calculus)提出了一个计算提领率的近似公式:
μ:年化实质报酬率 σ:年化标准差 p:可接受的失败率 T:中位数余命
λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2
提领率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒数则得财富倍数 W
GAMMA.INV 是 GAMMA函数的反函数，Excel有提供这个函式，不用自己算。
===
带入一些数字作为实例:
μ = 6% (目前美国抗通膨债报酬率约 2%，Equity Risk Premium 假设为 4%)
σ = 17% (S&P500 年化标准差约 17%)
T = 30 (中位数余命假设为30年)
p = 10% (假设可接受 10% 失败率)
λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260
提领率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
财富倍数 W = 1/(2.99%) = 33.41
按此估计，中位数余命30年的一个退休者，如将1000万元全数投入股票
每年提领通膨调整後的 29.9万，约有 10% 机会在死前花光财产
===
如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提领率则可上升到 3.35%
===
也可以反过来，根据提领率估计失败率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)
以 4% 提领率来说，如果沿用以上50%股票比重的设定
失败率的估计是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%
===
Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.254.212.231 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/CFP/M.1694349054.A.FA8.html
1F：推 weimr: 推 09/10 21:31
2F：→ GigiBuffon: 为什麽你p预设10%但是实例带5%进去算? 09/10 21:47
谢谢。已更正。
※ 编辑: daze (111.254.212.231 台湾), 09/10/2023 22:21:18
※ 编辑: daze (111.254.212.231 台湾), 09/10/2023 22:55:18
3F：→ goldenbee: 请问d大用蒙地卡罗模拟评估提领率是否就不受限 09/11 09:06
4F：→ goldenbee: Trinity study了？例如Portfolio Visualizer 09/11 09:07
蒙地卡罗法是不受限於Trinity study，不过蒙地卡罗法有很多细节可以调整
根据实作方式不同，请自行考虑结果的可信度
Portfolio Visualizer 预设是用Historical return
但也有Parameterized return的选项
跑出来的结果不尽相同
且即使都是用 Historical return
用 simple random sampling 或 block sampling 等细节的选择
也都可能影响结果
另外，Portfolio Visualizer的蒙地卡罗法是用固定提领期间
如果你知道何时会死，退休规划就容易多了
Milevsky的这个近似公式则是用stochastic死亡率来做估计
蒙地卡罗法也是可以实作stochastic死亡率
只是 Portfolio Visualizer 在实作时没有提供这个选项
细节设定合理的话，蒙地卡罗法应该能比近似公式提供更多资讯
只是可以调整的细节有很多，也没那麽容易就是了
5F：→ daze: Milevsky的公式，在低提领率时会稍微高估失败率，在高提领率 09/11 10:09
6F：→ daze: 时则会低估失败率。但在常用的2~4%提领率范围内，失败率大概 09/11 10:11
7F：→ daze: 顶多高估1~2%左右，差别并不会很明显。 09/11 10:12
※ 编辑: daze (60.249.225.18 台湾), 09/11/2023 11:20:05
8F：推 goldenbee: 感谢d大分享和回覆 09/11 13:52
9F：推 seanidiot: 这似乎也可以说明资产配置(降低sigma)的重要性 09/11 17:33
10F：推 KiraYoshikag: 感谢d大分享，果然不能傻傻地只有投股市而已 >< 09/11 21:23
11F：→ daze: 这是这组参数算出来是这样。如果你相信ERP有7%，全股就会赢 09/11 21:38
12F：推 toko6290: ERP能理解为考虑通膨後的报酬率吗？ 09/11 21:45
13F：→ daze: ERP是股票报酬率减掉无风险利率。至於什麽是无风险利率见仁 09/11 21:48
14F：→ daze: 见智，这篇是用美国抗通膨债利率当作无风险利率。 09/11 21:49
※ 编辑: daze (111.254.212.231 台湾), 09/11/2023 21:51:50
15F：推 aldosterone: 感谢推；是说 1. 主计处似乎没有公布中位数余命，不 09/11 23:17
16F：→ aldosterone: 知拿平均作 proxy 误差如何 2. 实质提领率不随年龄增 09/11 23:18
17F：→ aldosterone: 加（实务上）也是蛮奇怪的。如果花费是随时间指数上 09/11 23:18
18F：→ aldosterone: 升，直接把年增率合并计入通膨好像没什麽问题？ 09/11 23:19
19F：→ daze: 其实是可以从生命表推出中位数余命的，但用平均余命也不会差 09/11 23:34
20F：→ daze: 很多。按第十回生命表，男性70岁前中位数余命会略大於平均余 09/11 23:37
21F：→ daze: 命，70岁後则会略小於平均余命。 09/11 23:38
22F：→ daze: 以30岁男性来说，中位数余命约比平均余命多3年左右。 09/11 23:39
23F：→ daze: 以规划50年来说，这个差距应该也还好吧。 09/11 23:40
24F：→ daze: 生命表毕竟是群体值。至於有糖尿病先扣个5年之类的调整，就 09/11 23:45
25F：→ daze: 看个人的健康状况了。 09/11 23:45
26F：→ daze: 至於2，你说得未必不合理，只是不符合SWR的基础假设。 09/11 23:53
27F：→ daze: 你如果希望支出增加速度比通膨每年高1%，也可以把μ自行扣1% 09/11 23:54
28F：推 aldosterone: 感谢；关於 1. 看了下原文其实有提： 09/12 00:38
29F：→ aldosterone: E(T) = 1 / λ (4b) 09/12 00:39
30F：→ aldosterone: Median(T) = ln(2) / λ (4c) 09/12 00:39
31F：→ aldosterone: 那会是 ～0.3X 的 deviation；不过同时也有提 expone 09/12 00:39
32F：→ aldosterone: ntial or constant force of mortality assumption 09/12 00:40
33F：→ aldosterone: 的合理性问题；如 d 大所说给个人健康资讯比较大的 09/12 00:41
34F：→ aldosterone: 加权，并对估计保守大概比较实际。 09/12 00:42
35F：→ daze: 由於实际死亡率的分布，用 E(T) = 1 / λ 会高估λ。後者会 09/12 00:47
36F：→ daze: 比较近似。 09/12 00:49
37F：→ daze: 我揣测作者试过前者，发现跟蒙地卡罗法跑出来的结果对不起来 09/12 00:51
38F：→ daze: 才改用後者... 09/12 00:51
39F：推 aldosterone: 即视感 XD；是说如果 E(T) 和 Median(T) 都附上，dis 09/12 12:27
40F：→ aldosterone: cussion 再讨论一下落差也挺好的；现在蒙地卡罗的门 09/12 12:28
41F：→ aldosterone: 槛比当年低多了，不过有速算近似对於 grid search 和 09/12 12:28
42F：推 aldosterone: 评估参数对 SWR 影响的稳定度还是挺有帮忙的；另一 09/12 12:29
43F：→ aldosterone: 个延伸的问题是作为 lifecycle investing 的实践者， 09/12 12:30
44F：→ aldosterone: 如果基於风险趋避所得的 Samuelson share 和基於给定 09/12 12:30
45F：→ aldosterone: SWR 最大化成功率所得的风险资产比不同，不知有什 09/12 12:30
46F：→ aldosterone: 麽调和或选择的思考历程？ 09/12 12:31
47F：→ daze: Samuelson share 是基於 morndern portfolio theory，其 09/12 12:47
48F：→ daze: consumption是内生性的。假设理想开销比是5%，portfolio跌5 09/12 12:47
49F：→ daze: 0%时，你当年度的开销金额就会减半。 09/12 12:47
50F：→ daze: 反之，这个近似公式的consumption 是外生性的，不管portfol 09/12 12:47
51F：→ daze: io 是涨是跌，你都要维持固定的开销。大部分人的实际情形大 09/12 12:47
52F：→ daze: 概是落在两者之间。 09/12 12:47
53F：→ daze: 你的配置要比较偏向前者或後者，就要看你的开销是偏向弹性 09/12 12:47
54F：→ daze: 还是固定了。 09/12 12:47
55F：→ daze: 另外，如果你用lifecycle investing 的话，除了调整开销， 09/12 13:25
56F：→ daze: 还有一个可能的选择是透过调整退休年龄来调整portfolio 价 09/12 13:25
57F：→ daze: 值。这些额外的弹性也可能让你的配置偏向前者。 09/12 13:25
58F：推 aldosterone: 感谢分享！ 09/12 19:33
59F：→ tony825011: 感谢分享 09/13 23:13
60F：推 iammortal: 推 09/15 19:37
61F：推 pok042000: 感谢分享! 09/19 17:19