請問2009年第5版FRM Handbook第76頁的10.8%、及同一段的97%及下一段的4.1%，這些數 字是怎麼來的？ 2009年8月14日（週六）在金融研訓院教完FRM課程後，有位同學問了上列問題。因為下課 後接著要主持FRM回訓生的讀書會，無法當場回答這個問題，因此，今天特別將這問題解 答po在網站及部落格供同學們參考。 解答： 2009年第5版FRM Handbook p.75到p.76的3.2.2. Choosing Significance Levels for Tests整段都是今年的新增教材。 回答此問題前，我要先指出相關問題段落中的錯誤：p.75從最底下數上來第二段的第四行 中間開始及第五、六行整行的一句英文有錯誤。 For a given test, increasing the significance level will decrease the probability of a type 1 error but increase the probability of a type 2 error. 對底下劃線的significance應改為confidence才對。 p.76的10.8%、97%及4.1%的來源如下說明： 風控長或主管機關在回溯測試一個VaR模型是否可接受的步驟如下： 1. 紀錄下過去250天實際發生比99%信心水準所建立的VaR還差的例外次數（或損失）。 2. 若虛無假設是VaR模型為正確建立，則例外次數應遵行二項式分配，且期望值為 E【X】=np=250(1-0.99)=2.5 3. 風控長須找出例外次數超出而可拒絕該模型的臨界值。 4. 型1錯誤的機率是觀察到比臨界值還高的例外次數之機率。 5. 若風控長選擇例外次數的臨界值為n=4，則對應的型1錯誤機率或顯著水準為10.8%，計 算如下： （1）n=0：250！/(250！×0！) ×0.01^0×(1-0.01)^250=0.0811 （2）n=1：250！/(249！×1！) ×0.01^1×(1-0.01)^249=0.2041 （3）n=2：250！/(248！×2！) ×0.01^2×(1-0.01)^248=0.2574 （4）n=3：250！/(247！×3！) ×0.01^3×(1-0.01)^247=0.2149 （5）n=4：250！/(246！×4！) ×0.01^4×(1-0.01)^246=0.1341 1-(0.0811+0.2041+0.2574+0.2149+0.1341)=0.1084 （此10.8%也出現在2009年第5版FRM Handbook的第253頁第一段的最後一句：「若正確設 定VaR模型，則觀察到5次或5次以上的例外之數之機率為10.8%。」） 6. 一旦選定此臨界值，則會導致該風控長無法拒絕一個有較低信賴水準（97%）的VaR模 型。因為97%信賴水準的p=0.03，因此若型1錯誤機率是拒絕超過n=4的例外次數，則無法 拒絕的型2錯誤機率為例外次數未超過n=4的機率： （1）n=0：250！/(250！×0！)×0.03^0×(1-0.03)^250=0.0005 （2）n=1：250！/(249！×1！)×0.03^1×(1-0.03)^249=0.0038 （3）n=2：250！/(248！×2！) ×0.03^2×(1-0.03)^248=0.0147 （4）n=3：250！/(247！×3！) ×0.03^3×(1-0.03)^247=0.0375 （5）n=4：250！/(246！×4！) ×0.03^4×(1-0.03)^246=0.0717 0.0005+0.0038+0.0147+0.0375+0.0717=0.1282 （此12.8%的數字及圖表分別可參考：Philippe Jorion, Value-at-Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3rd Edition(New York: McGraw-Hill, 2007)第6章回溯測試VaR的p.144與p.145） 7. 若風控長觀察到的觀察值為6次例外，則觀察到6次例外或更多次例外的p-值為4.1%： 若把觀察到n=4的p-值: 0.1084 扣除掉250！/(245！×5！)×0.01^5×0.99^245=0.0666 則得到0.1084-0.0666=0.0418 8. 因為此p-值比所選定的顯著性水準還低，因此該風控長可下結論：該VaR模型為不正確 。 -- CFA證照考試心得分享:http://www.wretch.cc/blog/vactorlee --

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