请问2009年第5版FRM Handbook第76页的10.8%、及同一段的97%及下一段的4.1%，这些数 字是怎麽来的？ 2009年8月14日（周六）在金融研训院教完FRM课程後，有位同学问了上列问题。因为下课 後接着要主持FRM回训生的读书会，无法当场回答这个问题，因此，今天特别将这问题解 答po在网站及部落格供同学们参考。 解答： 2009年第5版FRM Handbook p.75到p.76的3.2.2. Choosing Significance Levels for Tests整段都是今年的新增教材。 回答此问题前，我要先指出相关问题段落中的错误：p.75从最底下数上来第二段的第四行 中间开始及第五、六行整行的一句英文有错误。 For a given test, increasing the significance level will decrease the probability of a type 1 error but increase the probability of a type 2 error. 对底下划线的significance应改为confidence才对。 p.76的10.8%、97%及4.1%的来源如下说明： 风控长或主管机关在回溯测试一个VaR模型是否可接受的步骤如下： 1. 纪录下过去250天实际发生比99%信心水准所建立的VaR还差的例外次数（或损失）。 2. 若虚无假设是VaR模型为正确建立，则例外次数应遵行二项式分配，且期望值为 E【X】=np=250(1-0.99)=2.5 3. 风控长须找出例外次数超出而可拒绝该模型的临界值。 4. 型1错误的机率是观察到比临界值还高的例外次数之机率。 5. 若风控长选择例外次数的临界值为n=4，则对应的型1错误机率或显着水准为10.8%，计 算如下： （1）n=0：250！/(250！×0！) ×0.01^0×(1-0.01)^250=0.0811 （2）n=1：250！/(249！×1！) ×0.01^1×(1-0.01)^249=0.2041 （3）n=2：250！/(248！×2！) ×0.01^2×(1-0.01)^248=0.2574 （4）n=3：250！/(247！×3！) ×0.01^3×(1-0.01)^247=0.2149 （5）n=4：250！/(246！×4！) ×0.01^4×(1-0.01)^246=0.1341 1-(0.0811+0.2041+0.2574+0.2149+0.1341)=0.1084 （此10.8%也出现在2009年第5版FRM Handbook的第253页第一段的最後一句：「若正确设 定VaR模型，则观察到5次或5次以上的例外之数之机率为10.8%。」） 6. 一旦选定此临界值，则会导致该风控长无法拒绝一个有较低信赖水准（97%）的VaR模 型。因为97%信赖水准的p=0.03，因此若型1错误机率是拒绝超过n=4的例外次数，则无法 拒绝的型2错误机率为例外次数未超过n=4的机率： （1）n=0：250！/(250！×0！)×0.03^0×(1-0.03)^250=0.0005 （2）n=1：250！/(249！×1！)×0.03^1×(1-0.03)^249=0.0038 （3）n=2：250！/(248！×2！) ×0.03^2×(1-0.03)^248=0.0147 （4）n=3：250！/(247！×3！) ×0.03^3×(1-0.03)^247=0.0375 （5）n=4：250！/(246！×4！) ×0.03^4×(1-0.03)^246=0.0717 0.0005+0.0038+0.0147+0.0375+0.0717=0.1282 （此12.8%的数字及图表分别可参考：Philippe Jorion, Value-at-Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3rd Edition(New York: McGraw-Hill, 2007)第6章回溯测试VaR的p.144与p.145） 7. 若风控长观察到的观察值为6次例外，则观察到6次例外或更多次例外的p-值为4.1%： 若把观察到n=4的p-值: 0.1084 扣除掉250！/(245！×5！)×0.01^5×0.99^245=0.0666 则得到0.1084-0.0666=0.0418 8. 因为此p-值比所选定的显着性水准还低，因此该风控长可下结论：该VaR模型为不正确 。 -- CFA证照考试心得分享:http://www.wretch.cc/blog/vactorlee --

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