作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
標題Re: [代數] 不等式證明
時間Sat Sep 21 17:34:06 2024
我舉例說明清楚。
首先還是要用到這個結果:
設P(x)是n次實係數多項式,若P(x)的根都是實數,則P'(x)的根也都是實數。
事實上,若P的n個根都>=0,則P'的(n-1)個根也都>=0 (證明方法一樣)
以下就舉一個「中間項」的例子
例:設a,b,c,d>=0,則
{ (ab+bc+ca+ad+bd+cd)/6 }^(1/2) >= {(abc+acd+abd+bcd)/4}^(1/3)
考慮以a,b,c,d為4根之首1多項式 P,則P'之3根u,v,w>=0
且由根與係數關係,注意到P'首項係數為4
ab+bc+cd+ad+bd+cd = P之2次項係數 = P'之1次項係數/2 = 2(uv+vw+uw)
abc+acd+abd+bcd = -P之1次項係數 = -P'之常數項 = 4uvw
故原不等式等價於
{2(uv+vw+uw)/6}^(1/2) >= {4uvw/4}^(1/3)
即 {(uv+vw+uw)/3}^(1/2) >= {uvw}^(1/3)
此時已成功將4變數的情形轉為3變數的情形,次數不變,但右邊變成單項幾何平均。
採用倒根變換(注:uvw=0 時明顯成立)
u'=1/u, v'=1/v, w'=1/w
則上述不等式又等價於
{uvw(u'+v'+w')/3}^(1/2) >= {uvw}^(1/3)
即 (u'+v'+w')/3 >= {u'v'w'}^(1/3),變成標準的平均不等式,故得證。
※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言:
: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言:
: : 各位先進好,
: : 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: : 題目是這樣:對於x_i均非負數,i=1~n
: : 試證:(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)/C(n,2))
: 推 TimcApple : wiki: Maclaurin's inequality 09/15 15:59
: 總之先證證看前面那條式子。
: 建構一個 P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
: 把 P(x) 展開得到一個多項式,記為 x^n-Σ_1 x^{n-1}+Σ_2 x^{n-2}+...+(-1)^n Σ_n
: 不難知道 Σ_1 = x_1+x_2+...+x_n 而 Σ_2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n
: 然後我們參考一下這個定理:
: 設P(x)是n次實係數多項式,若P(x)的根都是實數,則P'(x)的根也都是實數。
: 證明請參照:https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1296297333.A.AC2.html
: 顯然我們的 P(x) 是只有實根的多項式。
: 所以他的 n-2 階導函數 (n!/2!)x^2 - (n-1)!Σ_1 x + (n-2)!Σ_2 也只有實根,
: 除以 n!/2! 後也不改變這件事。
: 所以 x^2 - (2Σ_1/n) x + Σ_2/C(n,2) = 0 有兩個實根。
: 其判別式非負,即 4Σ_1^2/n^2 - 4Σ_2/C(n,2) ≧ 0。
: 整理過後得到 Σ_1/n ≧ (Σ_2/C(n,2))^0.5,得證。
: 可是當我想要嘗試用三實根的判別式如法炮製的時候,會很卡。
: 雖然做得出來,但最後要看一個不是很好看的函數的最大值。
: (即使微分就完事,還是不好看。)
: 總之嘗試著打出來看看怎麼證明 (Σ_2/C(n,2))^0.5 ≧ (Σ_3/C(n,3))^{1/3}。
: 為了方便起見,改用跟 wiki 一樣的記號表達:S_2^0.5 ≧ S_3^{1/3}。
: 首先,把之前做好的 P(x) 微分 n-3 次,
: 可以知道 x^3-3S_1 x^2+3S_2 x-S_3 恰有三實根。
: 所以判別式非正,即 (-3S_1S_2/2+S_1^3+S_3/2)^2-(S_1^2-S_2)^3 ≦ 0。
: 針對 S_3 整理一下,並且只看 S_3 的上界:
: S_3 ≦ 2(S_1^2-S_2)^1.5 - 2S_1^3 + 3S_1S_2
: = S_2^1.5 * ( 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 )
: 其中 k = S_1^2/S_2 ≧ 1。
: 然後研究一下 f(k) = 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5
: 從 f'(k) = 3(k-1)^0.5 - 3k^0.5 + 1.5/k^0.5
: = 3( 1/(2k^0.5) - 1/((k-1)^0.5+k^0.5) ) < 0
: 所以可以知道 f 遞減,最大值發生在 k=1,所以最大值 f(1)=1。
: 那麼 S_3 ≦ S_2^1.5 就證明出來了,最後整理一下即可。
: 可是這樣搞,後面的不等式會真的很不好做。
: 像是 S_4^0.25 ≦ S_3^{1/3} 之類的。
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代數幾何觀點!
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