作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [代數] 不等式證明
時間Mon Sep 16 02:34:13 2024
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言:
: 各位先進好,
: 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: 題目是這樣:對於x_i均非負數,i=1~n
: 試證:(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)/C(n,2))
1F:推 TimcApple : wiki: Maclaurin's inequality 09/15 15:59
總之先證證看前面那條式子。
建構一個 P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
把 P(x) 展開得到一個多項式,記為 x^n-Σ_1 x^{n-1}+Σ_2 x^{n-2}+...+(-1)^n Σ_n
不難知道 Σ_1 = x_1+x_2+...+x_n 而 Σ_2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n
然後我們參考一下這個定理:
設P(x)是n次實係數多項式,若P(x)的根都是實數,則P'(x)的根也都是實數。
證明請參照:
https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1296297333.A.AC2.html
顯然我們的 P(x) 是只有實根的多項式。
所以他的 n-2 階導函數 (n!/2!)x^2 - (n-1)!Σ_1 x + (n-2)!Σ_2 也只有實根,
除以 n!/2! 後也不改變這件事。
所以 x^2 - (2Σ_1/n) x + Σ_2/C(n,2) = 0 有兩個實根。
其判別式非負,即 4Σ_1^2/n^2 - 4Σ_2/C(n,2) ≧ 0。
整理過後得到 Σ_1/n ≧ (Σ_2/C(n,2))^0.5,得證。
可是當我想要嘗試用三實根的判別式如法炮製的時候,會很卡。
雖然做得出來,但最後要看一個不是很好看的函數的最大值。
(即使微分就完事,還是不好看。)
總之嘗試著打出來看看怎麼證明 (Σ_2/C(n,2))^0.5 ≧ (Σ_3/C(n,3))^{1/3}。
為了方便起見,改用跟 wiki 一樣的記號表達:S_2^0.5 ≧ S_3^{1/3}。
首先,把之前做好的 P(x) 微分 n-3 次,
可以知道 x^3-3S_1 x^2+3S_2 x-S_3 恰有三實根。
所以判別式非正,即 (-3S_1S_2/2+S_1^3+S_3/2)^2-(S_1^2-S_2)^3 ≦ 0。
針對 S_3 整理一下,並且只看 S_3 的上界:
S_3 ≦ 2(S_1^2-S_2)^1.5 - 2S_1^3 + 3S_1S_2
= S_2^1.5 * ( 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 )
其中 k = S_1^2/S_2 ≧ 1。
然後研究一下 f(k) = 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5
從 f'(k) = 3(k-1)^0.5 - 3k^0.5 + 1.5/k^0.5
= 3( 1/(2k^0.5) - 1/((k-1)^0.5+k^0.5) ) < 0
所以可以知道 f 遞減,最大值發生在 k=1,所以最大值 f(1)=1。
那麼 S_3 ≦ S_2^1.5 就證明出來了,最後整理一下即可。
可是這樣搞,後面的不等式會真的很不好做。
像是 S_4^0.25 ≦ S_3^{1/3} 之類的。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1726425255.A.892.html
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 09/16/2024 12:52:27
2F:推 LimSinE : 倒根變換 09/16 19:01
3F:→ Vulpix : 可是倒根做出來的是另一坨不等式,而且倒根只是翻 09/20 22:06
4F:→ Vulpix : 到另一端,還是不能解決中間項的不等式。 09/20 22:06
5F:推 LimSinE : 已微分降次,只要證Sn和S_n-1關係,無中間項問題 09/21 11:19