作者Lanjaja ()
看板Math
標題[代數] 級數的不等式證明
時間Sun Sep 15 23:34:16 2024
想問一道不等式證明：
設a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正負。
定義A_k =Σ_(i=1 to k) a_i
A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i)
σ(i)是i的置換permutation
證明對所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。
請問強者應該要怎麼證明這個A_k的性質？
感謝回答～
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1F：→ mantour : 最小的前k項和<=任意k項的和 09/16 00:32
2F：→ mantour : 證明就重排後的前k項如果不是a_1~a_k的重排，那不 09/16 00:39
3F：→ mantour : 在a_1~a_k的項都比a_1~a_k大 09/16 00:39
4F：→ musicbox810 : 這個問題以前也想過，可是當k越大，正序加的越大， 09/16 09:45
5F：→ musicbox810 : 亂序加的越少，難道沒有可能正序彎道超車，最後兩種 09/16 09:46
6F：→ musicbox810 : 和達到相同的值嗎？想請問m大要怎麼排除? 09/16 09:47
7F：→ mantour : 1-100 任取n項比總和大小，我取1~n，你要怎麼取才 09/16 11:09
8F：→ mantour : 會比我小？ 09/16 11:09
9F：→ mantour : 亂序越加越小，也頂多跟1~N項的和相等（當亂序的前 09/16 11:12
10F：→ mantour : N項剛好是1~N項的重排時） 09/16 11:12
11F：→ musicbox810 : 謝謝m大，我再想想看。我可能把增量幅度搞混進去了 09/16 13:49
12F：→ Lanjaja : 感謝M大的解答 09/16 21:55
13F：→ mantour : 剛想到照music大的思路也可以的解釋了 09/17 22:11
14F：→ mantour : 因為a_1~a_n的總和是固定的，所以後面還沒加的項越 09/17 22:18
15F：→ mantour : 小，反而表示前面的總和越大 09/17 22:18
16F：→ musicbox810 : m大可以再解釋一下嗎？ 09/18 08:48
17F：→ mantour : 呃 可能你再描述一下問題 才知道怎麼解釋 09/19 00:32
18F：→ mantour : 如果100個數，本來最後三個數是98,99,100重新排列 09/19 08:26
19F：→ mantour : 後最後三項變成3,2,1，A_97 - A'_97=?, A_98-A'_98 09/19 08:26
20F：→ mantour : =?, A_99-A'_99=?, A_100-A'_100=? 09/19 08:26
21F：→ musicbox810 : 我的疑問是重排的A_k'有無可能在某k被A_k超越，然後 09/19 19:45
22F：→ musicbox810 : A_k'再重新超越A_k，或者之後都沒超越A_k，只在最後 09/19 19:45
23F：→ musicbox810 : 兩個都相等 09/19 19:45
24F：→ musicbox810 : 在想有沒有反證法否決掉這個可能 09/19 19:50
25F：→ mantour : 可以追平，無法超前 09/19 20:28
26F：→ mantour : 如果這樣呢？ 09/19 20:36
27F：→ mantour : 假設a'1+...+a'k>a1+...+ak 09/19 20:37
28F：→ mantour : 把a'1~a'k也由小排到大 09/19 20:37
29F：→ mantour : 更正，不用排序 09/19 20:43
30F：→ mantour : 上面寫錯重來 09/19 20:44
31F：→ mantour : 如果a'1+...+a'k<a1+...+ak 09/19 20:52
32F：→ mantour : 那把a‘1~a‘k重新排序就可以得到一個原數列的k項 09/19 20:55
33F：→ mantour : 遞增子數列，比a1~ak小 09/19 20:55
34F：→ mantour : 這樣應該可以導出與a1~ak是最小的前n項矛盾 09/19 20:57
35F：→ musicbox810 : 謝謝m大，我覺得我想要反證的結果，反而最後還是回 09/21 18:43
36F：→ musicbox810 : 到正面證法 09/21 18:43