作者Lanjaja ()
看板Math
標題[代數] 不等式證明
時間Fri Sep 13 12:57:09 2024
各位先進好，
我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n
試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。
到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。
懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。
感謝回答～
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1F：推 vectorlog : 這是算幾不等式的n個變數版本嗎？ 09/13 15:57
2F：→ Ricestone : 右邊實際上是什麼？ 太多的話明顯錯誤吧 09/13 16:15
3F：→ Ricestone : 至少如果是C(n,2)這種方式的話，右邊項數會超過左邊 09/13 16:19
4F：→ Ricestone : 那就單純全部取1就出錯了 09/13 16:19
5F：推 WINDHEAD : n=4 可以融合成 (x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0 09/13 16:26
是的，n=4展開是(x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0，
但是我做到這裏就沒辦法繼續往n>=5前進了......
因為光是當n奇數時(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2就造不出最後一項x_5x_1了
6F：推 Starvilo : 平方相減>=0(或含排序不等式) 09/13 16:33
可以請S大幫忙解釋一下如何推廣到n>4的狀況嗎？謝謝！
7F：推 StellaNe : 右邊只有n項 n=4是x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 09/13 16:42
8F：→ Ricestone : 喔喔，沒想到環形 09/13 16:48
9F：→ WINDHEAD : 這題滿有趣的 可以用幾何作 09/13 18:30
可以請W大講解一下怎麼用幾何做嗎？謝謝！
※ 編輯: Lanjaja (192.192.13.101 臺灣), 09/13/2024 18:45:05
10F：→ Lanjaja : 是的，右式不是所有交叉項的總和，只是相鄰項乘積和 09/13 18:59
11F：→ Lanjaja : 頭尾乘積，抱歉沒有寫明 09/13 18:59
12F：推 walkwall : 提供一個思路 但我還沒細推 你就把他想成是在直線 09/13 19:15
13F：→ walkwall : 上的連續長度片段x1, x2, x3... 那任意相鄰兩個線段 09/13 19:16
14F：→ walkwall : 為直徑的半圓上 相接點頂到半圓上的高就是相乘開根 09/13 19:17
15F：→ walkwall : 那這題幾何上直觀的意思就是 這些高平均的最大值發 09/13 19:18
16F：→ walkwall : 生在每個線段等長的時候 以這個思路就不難看出來數 09/13 19:19
17F：→ walkwall : 學歸納法不好拆 但直覺上是對的 09/13 19:19
18F：推 walkwall : 可能想辦法證明任意數列相鄰兩數 在相等時會有最大 09/13 19:41
19F：→ walkwall : 值 比較是可能的突破口 比如說不管x1,x4值大小 09/13 19:42
20F：→ walkwall : 固定所有其他值與x2+x3的值(左側固定) 證明x2=x3時 09/13 19:44
21F：→ walkwall : 右側會有最大值這樣 09/13 19:44
22F：推 Starvilo : 題目有錯嗎？n=5 (1,1,1,2,2)矛盾 ，若後面是逆序 09/13 22:24
23F：→ Starvilo : 和，即為切比雪夫不等式？ 09/13 22:24
24F：推 LPH66 : 上面有說了, 右邊是相鄰兩項積和 (最後一項是頭尾積 09/14 08:44
25F：推 StellaNe : 左=(1+1+1+2+2)/5=1.4 右=√((1+1+2+4+2)/5)=√2= 09/14 09:06
26F：→ StellaNe : 1.414... 右>左 09/14 09:06