作者robenten (:)
看板tutor
标题[解题] 高一下 数列与级数
时间Thu Nov 6 21:19:13 2014
1.年级： 高一下
2.科目： 数学
3.章节：
高一下 数学归纳法
4.题目：
设 n 为自然数, 若2^(3n+3)-7n+41恒为
正整数 m 的倍数, 请问m有几种不同的值?
A: 3种 http://ppt.cc/dFou
5.想法：
其实小弟我不太确定这题目应该归类到哪一单元
比较直观的想法是直接将n=1与n=2带入
得到f(1)=98 f(2)=539
因为f(2)-f(1)不影响公因数的值
==> f(2)-f(1) = 441 = 3^2*7^2
因3不是f(1)或f(2)的因数, 49是两者的公因数
所以可以直接猜想 m 的最大值可能为49
49的因数1,7,49皆为可能的答案
如果要证明的话, 目前猜测一种可能作法
2^(3n+3)-7n+41 ==> (7+1)^(n+1)-7n+49-7-1
==> (7+1)^(n+1)-1 -7(n+1) +49 之後再整理
不过因为这题是选择题, 我想应该不需要这麽复杂,
还麻烦各位版友给点意见, 谢谢
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※ 编辑: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 21:19:43
※ 编辑: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 21:20:16
1F：→ wayn2008: 数学归纳法 11/06 21:33
2F：→ banach: 代入 n=1, 2 得前两项为 49*2 和 49*11 11/06 22:02
3F：→ banach: 因为 m 须整除数列的每一项，所以只能 1, 7, 49 11/06 22:04
4F：→ robenten: 刚想到一个作法 f(n+1)-f(n)必为m的倍数 11/06 22:33
5F：→ robenten: f(n+1)-f(n) 整理後可得 7*2^(3n)-7 = 7[(2^3)^n-1] 11/06 22:35
6F：→ robenten: = 7[(7+1)^n-1] 1可以消掉 整理後必为49的倍数 11/06 22:36
※ 编辑: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 22:42:16
7F：→ wayn2008: 这题为高一下 1-2 数学归纳法 11/06 22:44
※ 编辑: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 22:47:39
8F：→ robenten: 以更正 thanks :) 11/06 22:48