抱歉因一时不查，误以为推文被删，先特别向你抱歉。 我稍作整理如下。 ※ 引述《jollic (jollic)》之铭言： : 标题: Re: [求助] 高中指数 : 时间: Thu Nov 7 00:42:31 2013 : : 5.想法：我知道有理指数的底数不可为负 : : 但我计算的结果: : : 1.(-2)6次方 = 64 : : 此步骤的问题在， 当a = -2 < 0 , n = 1/2 in Q 时 : : a^n 本身即不合定义了， (a^n)^12 = a^(n*12) 此指数律根本就有问题 : : : 2.(根号2*i)12次方 = 64*1 = 64 : : 根号2*i = 根号(-2) , 而 (-2)^(1/2) 并没有定义成 根号(-2)，所以有问题 : : : 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根号4)12次方=64 : : 同样地，底数为负的时候，未定义，因此此式依然有问题 : : : 都是 64 > 0 : 以上我没反对过， 原始推文，我就很单纯的问你「没定义会有问题，你会告诉学生问题在哪吗？」 : : 并且依照这样的认知下 : : 我们也不应该遇到已经学完复数极式的高三孩子 : : 找我们说:老师，你高一教的是错的。 : : 因为高三的复数极式都是在问 : : " 求 x^2 = -1 的根 " 而非问 " (-1)^(1/2) 为何? " http://ppt.cc/8SIB 我这边就当做你自己已经体会罗。 以下先恕删 : 看来看去，您应该还是没有翻阅正式课本是如何撰写这部份 : : 首先，看了许多课本以後确实发现没有一本书有提到或写到 如 : 27^(2/(-3)) : : 即有理数指数，分母取负整数之状况 : : 但是 : : 课本 ( 全华、龙腾 ) 却有提到一件事 : : " 因为有理数的表示法不唯一，而所有的有理数都可以写为 m/n 的型式，其中 : : m 为整数，n 为正整数 " 这边不就说明了当出乎「定义」所叙述的情况时， 不一定是「无法处理」的？ 当然目前的症结点不在於指数，而是在於底数， 课本里面提到的是「当 a>0 且 n为正整数时，...(略)」 学生有思考自然就会询问其他情况是否可以计算？ 其实你想说有问题真的不用大废周章，光一篇网路文章就能解释的， 例如 http://ppt.cc/SMYD 你大可以说问题在那儿且把它说明清楚， 但教授课程最重要的在於那目前看不见的地方， 是否可以帮学生做预前的准备， 用学生能理解的方式，让这样的说明不会与之後所学习到的产生矛盾， 这样的预备知识在一些情况就是更重要的。 : 希望你不要再问我 : : 既然可以算 : : 那一开始的定义就不要限定 n 一定要正整数，而改成整数就好了 : : 的问题 没，这时候我会问，「不是整数不行吗？」 : 说 : 在指数的推广时，我们坚持指数定律需保持不变 : : ( 在这边我还记得当年微积分教授也说过，指数函数被创造出来有一个原因是想找找看 : : 有没有什麽函数可以满足 f(x+y) = f(x) * f(y) 的性质 ) : : ** 注: 指数定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n) : : (2) (a^m)^n = a^(mn) : : (3) (ab)^m = a^m * b^m : : 基於这个观点 : : 若是我们推广指数到有理数时，也允许底数为负的话 : : 会发生如 : : : i = sqrt(-1) ... 虚数 i 的定义 : : = (-1) ^ (1/2) ... 前述有理数指数定义，去除底数限制 : : = (-1) ^ (2/4) ... 有理数的等价关系 : : = ( (-1)^2 ) ^ (1/4) ... 指数定律 : : = ( 1 ^ 2 ) ^ (1/4) ... 正整数指数 : : = 1 ^ (2/4) ... 指数定律 : : = 1 ^ (1/2) ... 有理数的等价关系 : : = sqrt(1) ... 有理数指数 : : = 1 : : 矛盾出现 上面我有放网址，你找得到的，我也找得到，不过还是感谢你。 : : 是故，在此我们希望去限制底数只能为正实数，以避免指数定律的不成立。 : : 当然，有没有好的办法让底数不要受限，又能让指数定律成立? : : 课本告诉学生，高中阶段尚不讨论。 高中阶段不讨论？ 你指的是不用讨论，还是不花时间讨论？ 当然你讨不讨论是你的选择。 : : (据我们所知，一种解决方法即进入复变数函数的世界处理，这部分当然就太深了。) : : 从上面的课程布局来看 : : 我也就不懂为什麽会有学完极式的高三学生跑来说高一教错了的不一致行径。 : : 就以您提的例子来说明好了 : : : : 令 x = (-2)^(1/2) : : : 则 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （详见99课纲选修上册复数极式） : ^^^^ : : "则" 字在数学用语中，即含有 " 推论 " 的意思 : : 而上面的两句话，也就是代表 : : if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 . : : 这部份，因为指数定律已经无法使用 : : 那我们究竟要依据什麽理由才能做出这个推论 ? http://ppt.cc/8SIB 文章前面我就有放了， 我就当做你有理解罗。 : : : case 1. x = √2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的） : : 复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。 : : case 2. x = -√2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的） : : 复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。 : : : --- : : : 我前面讲的是是否有某个东西的平方是-2 : : : : 学生会不会有这样的疑问： : : : : 为什麽"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"对， : : : : 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"却错？ : : 在现行的定义下，指数定律在底数为负的时，会出现问题。 : 那把-2当做是复数去处理的时候，是不是有问题？ 尤其在你能够理解 (-2)^(1/2) 可视为 x^2 = -2 的两根的时候。 : : 或者有这样的疑问： : : : : 为什麽"x = (2)^(1/2) => x = √2"对， : : : : 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"却错？ : : 在现行的定义下，指数定律在底数为负的时，会出现问题。 那把-2当做是复数去处理的时候，是不是有问题？ 尤其在你能够理解 (-2)^(1/2) 可视为 x^2 = -2 的两根的时候。 : : --- : : : 这边值得注意的一点是， : : : : 课纲中提到底数为正的情况在於指数函数(而且还不能是1)，而非指数运算，: : : 帮补课纲原文： : : 要介绍指数函数（底数a>0,a≠1）的图形与性质，包括：值域、单调性（严 : 格递增、严格递减）与凹凸性，这里凹凸性仅做割弦在函数图形上方的直观介绍 : 即可。主要的指数函数为2^x 及10^x 。 谢谢。 : : : : 因此学生会不会有这样的疑问： : : : : 既然指数底数在高中课程为正， : : : : 那为什麽"2^2 = 4 "对， "(-2)^2 = 4"也对？ : : 由课纲的叙述可见，只考虑底数为正显然是针对介绍指数函数的图形时所用。 : : : 又为什麽"[2^(1/2)]^2 = 2"对，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"却错了？ : ^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 同上理由，指数定律在底数为负的时候 : 会出现问题，是故无法使用 那把-2当做是复数去处理的时候，是不是有问题？ 尤其在你能够理解 (-2)^(1/2) 可视为 x^2 = -2 的两根的时候。 所以，这角度去看，哪边错？ 整个高中课程唯一能够去做处理的就出现在复数极式单元， 那你为什麽要一直扯指数定律在负的时候无法作用？ : : : 但实际上真的是错的吗？ : : 实际上，是对是错，才疏学浅我也不敢肯定，但至少我从彻尾都没说过"错" 你是没说过错，http://ppt.cc/zbnR 只是你认为不正确的点，似乎不对吧？ : : 只会告诉学生，在现行的数学架构下这部份会有一些我们还没办法处理的问题，等到 : : 以後学得更多，有了能力之後，才能做适当的判断。 : : 但如果学生认为 "不选择" = "错" : : 那千万要机会教育，不让学生只会二分法 ---- 即不是对，就是错。 这似乎不是二分法的问题， 而是该把「有问题」的部份说出来的吧？ ----- 最後还是跟你抱歉一下，没仔细去看而说你删推文，很抱歉。 不过看在我按r都没出现你之後的编辑文章害我很苦恼， 这事就请你原谅我吧。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.175.77 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 00:00) 我没记错的话， z = r e^(i(θ + 2kπ)) = r(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ)) z^(1/n) = r^(1/n) e^(i(θ + 2kπ)/n) = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) z^(1/n) 看成 x^n = z的根，这样的问题在哪？ 或者可以请你说明一下你是如何不同意的？ 刚找了一下之前的书，如果上面看的很乱， 那就看一下这个吧 http://ppt.cc/uIo- http://ppt.cc/Ktbj http://ppt.cc/meFS 出处为 http://ppt.cc/pvAX ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:23) 背景知识不同？ 我想我前面有提到了，当学生有问题时， 我能做的就是以现行能够处理的复数极式告知不会产生矛盾的结果。 课纲没说老师不能说明，你说是吧？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:38) http://ppt.cc/06Fd 你可以证明第三题。 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:42) 我很疑惑你为什麽要一直强调高中教材有所限制， 但不否认的总是会有学生的需求不仅於此。 你只打算仅用高中范围授课是你自己的事情， 但我想我做适当的补充，应该没有阻碍到你吧？@@ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:46) 更何况利用复数极式去思考根的情况， 本身就是可以考量学生情况而进行的。 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:48) 何谓完整的论述， 若真的要完整，小学一堆题目都不能做了，不是吗？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:49) 我哪边有写到这个？？@@ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:50) 那也不是我写的阿， 你要说那个有问题，为什麽不直接指出来呢？ 我真的很不喜欢说有问题又不说明的。 这边是讨论版，不是用来说别人有问题後就跑掉的版好吗？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 01:55) 有兴趣就可补充，想知道就可以补充， 只要学生愿意且能够理解就可以补充， 哪边不对？ 这边还是请你说明一下何谓「完整的来龙去脉」 龙何来？ 脉何去？ 喔对了，你的直接指出来是第一天说有问题，2天後才说明@@ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 02:03) http://ppt.cc/zbnR 或许对你而言没定义就是非常清楚的说明吧 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 02:08) 是啦，但是我自己不会因为这样说就把它带过， 一个明明有的东西要说没有，然後摸摸头说你以後就会碰到了。 这样是解决学生的困惑吗？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 02:13) 感谢你的批评， 你认为这边很难向学生解释是你自己的事情， 你说要有「来龙去脉」的向学生解释也是你的事情， 毕竟你在这部份没有仔细说明， 那我在这部份就先简略向你说明好了。 回到复数平面，举个例子： 我假设有个符号 z^(1/2) = 1/2 + (√3)i/2 於是 [z^(1/2)]^2 = -1/2 + (√3)i/2 所以 z^(1/2) = 1/2 + (√3)i/2 可看成 x^2 = -1/2 + (√3)i/2 的一个根 你可以先回答我上述是否合理直观。 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 09:36) 从这边开始， 如果你有仔细看上面例子， 应该要知道上面的"z"目前再怎样都无法被换掉， 那麽又何来 z 代换成 -1 之说？ 不好意思，可能我资质太过驽顿， 你这边让我认为答非所问，你的提问也不是根据上面所讲的。 我上面的问题应该没这麽难回答吧？ 尤其你这边又跟我说底数<0， 还是你打从心里认为 1/2 + (√3)i/2 < 0 ？ 的确是这样， 所以我打算直接说结论， 实务上，对一个自然组的高三学生而言， 只要他能够正确认识复数、复数平面、复数极式以及棣美弗定理後， 利用适当的引导与思考来去理解 z^(1/n) 是方程式 x^n = z 的根不是困难的事情。 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 19:33) 你好像不清楚什麽叫例子，什麽叫结论， 还是你可以直接将例子直接引导到结论？@@ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 19:52) 上述看你这样打其实是有趣的， 我想这样至少让你去思考了。 我想问，你知道为什麽在课纲中要先解释二次方根吗？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 20:38) 但对我而言这样的推论相当有趣阿， 然後，你知道为什麽我会要求对复数平面、复数极式与棣美弗定理有正确的认识？ ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 20:45) 复数极式（也可说复数的指数形式）在复数平面上的运作为何？ 单位圆上的情况为何？ 非单位圆上的情况又是什麽？ 举例-->延伸-->推论-->验证 ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 20:56) 我已经说过了我的结论， 至於怎麽去解释给学生当然是我的事情。 而你要认为这是闹剧，请便罗！ 只是我觉得好可惜阿... ※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/09 21:25)