作者diego99 (谁是我的小天使？！)
看板tutor
标题Re: [求助] 高中指数
时间Wed Nov 6 10:00:16 2013
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│ 文章代码(AID):
#1IUayS0C (tutor) [ptt.cc] Re: [求助] 高中指数 │
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上面这个文章是真的打动我此题不能选的说法，
当使用复数做运算时，当用复数的情况来比大小而非实数，
但复数在一般情形下是无法比大小的，故题目情境必须要有限制条件。
无论如何感谢这篇作者，让我想起我遗失的东西。
以下过程做些补充：
令 x = (-2)^(1/2)
则 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （详见99课纲选修上册复数极式）
case 1. x = √2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的）
复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。
case 2. x = -√2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的）
复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。
---
原文的推文中有提高中课程没有定义复指数函数，
但这似乎不代表无法用高中课程的范畴去处理这样的问题。
而一题题目在高一时错误，而到高三时反而正确，
造成的问题会比思考问题还严重，
因为你可能会发现高三的指考战士拿着高一的自修说这是错的。
※ 引述《PROQC (跑步去)》之铭言：
: 1.年级：高一
: 2.科目：数学
: 3.章节：指数率
: 4.题目： 是非题 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: 答案是(错)
: 5.想法：我知道有理指数的底数不可为负
: 但我计算的结果:
: 1.(-2)6次方 = 64
: 2.(根号2*i)12次方 = 64*1 = 64
: 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根号4)12次方=64
: 都是 64 > 0
: 想请教的:此题是直接说底数不可为负所以错 ?
: 还是有其他的计算方式可以写出不大於0的结果 ?
: ，请各位高手解惑，谢谢。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.175.77
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 10:16)
1F：→ jollic:您仔细看高三在这部分的问题，都会问"求-2的2次方根" 11/06 11:26
愿闻其详。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 11:31)
2F：→ jollic:而避免使用"x=(-2)^(1/2),求x"的叙述。在课程中仅定义了底 11/06 11:31
3F：→ jollic:数为正数时的指数函数，未有妥善的定义底数为负的时候 11/06 11:31
4F：→ jollic:因此在底数为负的时候，我会怀疑若 x=(-2)^1/2 跟 x^2 = -2 11/06 11:32
你这边该说的是高中课程中，
当底数为其他情况时，指数部分要是正整数，
例如 (a+bi)^n
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 11:34)
5F：→ jollic:是等价的关系吗? 11/06 11:32
6F：→ jollic:或者不用等价 11/06 11:33
7F：→ jollic:或许不用到"等价"如此强的条件，我们应该要问 11/06 11:34
8F：→ jollic:"x=(-2)^1/2 可以推得 x^2 = -2 "这件事是否正确 11/06 11:34
这边要去思考是不是有某个东西的平方会是 -2
不存在吗？ 这样似乎不对。
只有√2 i 和 -√2 i 吗？ 目前能用到的理论确定至少是这些。
是不唯一就无法定义吗？ 这些都是可以去思考的。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 11:39)
9F：推 AtDe:我觉得是高中的数系还没推广到那边... 11/06 11:41
但高中生可以利用目前学过的东西去思考。
而这里既然是家教老师的讨论版，
那身为老师的我们是否也该思考一下当学生对这里有疑问时，
我们是要告诉他「因为高中数学中指数的底数不能为负，所以这题错」
还是该向他们诚实以对？
当然这部份每个老师的做法不同，应该就不需要详述了。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 12:03)
10F：→ jollic:我想你上面应该是要打，有没有一个数的平方是-2吧 11/06 12:14
感谢，已修改。
11F：→ jollic:我这边想表达的不是有没有答案，而是要表达对於符号的使用 11/06 12:16
12F：→ jollic:尽管有一个解的平方是-2，但这就代表那个解可用(-2)^1/2来 11/06 12:17
13F：→ jollic:表示吗? 依据现有所学，应该是不成立的 11/06 12:19
这说反了吧？
我前面讲的是是否有某个东西的平方是-2
学生会不会有这样的疑问：
为什麽"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"对，
而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"却错？
或者有这样的疑问：
为什麽"x = (2)^(1/2) => x = √2"对，
而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"却错？
这边值得注意的一点是，
课纲中提到底数为正的情况在於指数函数(而且还不能是1)，而非指数运算，
因此学生会不会有这样的疑问：
既然指数底数在高中课程为正，
那为什麽"2^2 = 4 "对， "(-2)^2 = 4"也对？
又为什麽"[2^(1/2)]^2 = 2"对，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"却错了？
但实际上真的是错的吗？
14F：→ jollic:回到教学面，这边可以要协助学生建立一个概念，在探讨任何 11/06 12:21
15F：→ jollic:问题前，要先确立思考时的背景是什麽，我们有哪些知识後， 11/06 12:25
16F：→ jollic:再去讨论问题， 就如同有人说1+1=0，难不成永远都是错的 11/06 12:27
17F：→ jollic:吗? 我想不尽然吧! 11/06 12:27
http://ppt.cc/99pj
以上，感谢你的讨论，若还有其他依然是愿闻其详。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 13:19)
18F：推 wayn2008:推 课纲提到 底数为正是因为要画指数函数图形 11/06 13:32
这边学生可能又有疑问：
难道底数为负，就无法画出函数图形了吗？
19F：推 alamabarry:过去的教育太重视答案是什麽~~然後去接受他 11/06 13:41
20F：→ alamabarry:或是去揣摩出题者的意思 或是用意 11/06 13:41
21F：→ alamabarry:很多都是建立在出题者是对的前提下去作答 缺乏讨论 11/06 13:42
22F：→ alamabarry:个人没这麽专业 但如果是我遇到 我会用本篇文章的方式 11/06 13:43
23F：→ alamabarry:去说明为何我认为是对~~但是我也会跟学生说可能是定义 11/06 13:43
24F：→ alamabarry:问题所产生的结果~~待我查清楚再跟你说 11/06 13:44
25F：→ alamabarry:定义会改变本题的答案~但对这类型问题的思考其实没差 11/06 13:44
26F：推 alamabarry:但是我并不认同 还没交到的观念要逼学生去选那个答案 11/06 13:47
27F：→ alamabarry:应该要说明清楚比较好 不然就不要出现这类型题目 11/06 13:49
其实我更无法认同的地方在於，
这种让学生无法辨别真伪的是非题，为何要强制学生选「非」？
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 13:56)
28F：→ condensed:如果题目本身设计就有问题 那就连对错都谈不上 11/06 13:57
是的，所以我才在原文的推文中说，
我的话会选「是」。
重点在於当我跟学生说我认为「是」之後，
我做的解释是什麽。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 14:00)
29F：→ condensed:学生要选的是：「命题者出错」，而不是答案为非。 11/06 13:58
30F：→ condensed:符号运算必须先定义清楚，而不是蓄意误导学生。 11/06 14:00
31F：→ condensed:这种只是为了要让学生犯错，而非厘清观念细节的问题， 11/06 14:01
32F：→ condensed:在正式教材里都应该极力避免。 11/06 14:02
33F：→ wayn2008:我在说明图形时也会讲到为何不用负数当底数。 11/06 14:04
34F：→ condensed:我不觉得那题应该选非，因为在数学上的确是有定义的。 11/06 14:04
35F：→ condensed:如果学生超前进度学过了复数的观念，教师难道要以：「现 11/06 14:06
36F：→ condensed:阶段不应提前学习复数」为理由，说学生是错的吗？ 11/06 14:07
所以这边就是出题老师与授课老师该谨慎小心的部分。
37F：→ wayn2008:去画函数图(刚刚打错没句点才对)，稍微提到连续性对学数 11/06 14:09
38F：→ wayn2008:学的关联 11/06 14:09
是的，说明如此定义的原因与用途，就是这节最重要的地方 ^^
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 14:13)
39F：→ jollic:上面所说的1+1=0，并非指那种明显错误证明，要说的是讨论 11/06 15:32
那...可以请你帮忙讨论一下吗？
要不然你这段我完全不晓得你要讨论什麽，
只好找个资料放上去。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 15:35)
40F：→ jollic:问题时的基准在哪，若是我们身处在Z_2的世界去做加法， 11/06 15:35
OK 这样我了解了。
你想表示的是在Z_2的情况下1+1=0是吧？
那...接着呢？
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 15:37)
41F：→ jollic:1+1自然为零，同样地，原题目的讨论也是要先辨明我们要用 11/06 15:37
42F：→ jollic:国中，高一，高三，还是最广博精深的数学界来讨论是与非 11/06 15:40
好，那请你告诉我 [(-2)^(1/2)]^12 > 0 到底错在哪？
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 15:41)
43F：→ jollic:依照高中课本对指数函数的定义，在指数为有理数时， 11/06 16:02
44F：→ jollic:底数要大於零 11/06 16:02
45F：→ jollic:而你上述表达的(a^m)^n=a^(m*n)，同样是在有定义 11/06 16:07
46F：→ jollic:的情况下才成立，而取a=-2,m为有理数，也在定义之外 11/06 16:09
47F：→ jollic:，所以我会质疑那个等号的成立与否 11/06 16:10
48F：→ jollic:再来，我前面只有说到，不应该是正确的，而没说过有错 11/06 16:14
现在还要跳针高中数学对指数函数的定义吗？
我是很久没看到正式的数学课本了，
但我只知道课纲在这部份是这麽写的。
http://ppt.cc/v1Gp
你可以告诉我这整篇课纲里面哪里有确实提到指数函数的定义？
再者，为什麽一个你已经确定是正确的事情，
却要和学生说因为定义的问题，所以「不应该是正确的」？
一个老师的责任不该仅此而已吧！
什麽叫是非题？
不是「正确」就是「错误」，
要不然就是「不知道」，
没有所谓「应该」的选项。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 17:46)
49F：推 alamabarry:指数函数 底数会有限制 但这题如果不是指数函数成立吗? 11/06 17:47
这题根本就没有提到指数函数这四个字。
只是我不解为什麽课纲压根没提到指数函数的定义，
却要跳针课本有说指数函数的定义。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 17:49)
50F：推 alamabarry:所以我觉得这可能是关键~~一直去讨论指数好像怪怪的 11/06 17:49
51F：推 nogoodid:和学生解释完 说明是对的後 如果学生问考试该写对还错 11/06 18:20
52F：→ nogoodid:老师们会怎选择呢 叫他坚持 还是选可以拿分的答案 11/06 18:21
我都是这麽跟学生说的，
如果你的老师在这题让你错了，
那我会想办法联络他念研究所时的指导教授，
请他的指导教授指导我这题是对还是错。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 18:24)
53F：→ nogoodid:老师找指导教授跟你谈还是直接算错扣分 哪个机率大… 11/06 18:38
54F：→ nogoodid:一般来说 我会解释给学生听 让他获取正确的知识 11/06 18:44
55F：→ nogoodid:但是如果学生想写可以拿分的答案 我也觉得ok 11/06 18:44
56F：→ nogoodid:老师的坚持 不见得要加在学生身上 让他自己判断利弊吧 11/06 18:46
我想我上面没有说要把我的坚持加在学生身上，
我也没有说过我找那位老师的指导教授就能够让学生获得该题分数，
但我会把该指导教授所认为的也一起告诉那位学生。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/06 19:03)
57F：→ nogoodid:什麽意思？ 你是指你这样解释完後 学生可能会不信你 11/06 19:08
58F：→ nogoodid:所以必须找学校老师的指导教授才能证明你是对的？ 11/06 19:09
59F：→ diego99:我先去上课，回来再回。 11/06 19:09
60F：→ nogoodid:会这样问 是因为我学生时代有碰过类似的事情… 11/06 19:26
61F：→ nogoodid:是非题；一元二次方程式判别式小於0 则X无解 11/06 19:27
62F：→ nogoodid:家教老师很坚持说有解 还跟我解释虚数的事情 要我写错 11/06 19:28
63F：→ nogoodid:但我想拿分 小考我写对 得到分数 他看到考卷很不满 11/06 19:29
64F：→ nogoodid:就又花很多时间跟我沟通虚数的盖念 我其实已经半不懂了 11/06 19:30
65F：→ nogoodid:最後他叫我以後要写错 什麽他负责之类的 11/06 19:31
66F：→ nogoodid:段考好死不死有这题 我也写错了 100分就飞了 11/06 19:31
67F：→ nogoodid:他知道後 一直说要找我学校老师沟通 我吓都快吓死了 11/06 19:32
68F：→ nogoodid:忘了补充 时间点是我的国中 那时候还有部份学校的答案 11/06 19:43
那你可以想看看现在你知道判别式小於零确定为无实数解的时候，
你会请你的学生在写答案是要写「无解」，还是写「无实数解」。
这事情我的看法是这样，
若学生写的是正确的知识，我会认为他是非常棒的，
即使这题被改错，或者只差这题就满分，
如果他真的很想要这题的分数，我也很愿意帮他争取，
但我会告诉他在这份测验中获得比满分还要充实的成就。
若学生为了成绩写下错误的答案，我也不会反对，
毕竟在台湾目前的制度下，学生不得不低头。
69F：推 condensed:写正确的答案被改错，你还有立场去争取；写错误的答案被 11/06 19:44
70F：→ condensed:改错，你要向大考中心辩驳说「是参考书或我们任课老师 11/06 19:44
71F：→ condensed:讲的，所以你要让我对」这样子吗？ 11/06 19:44
72F：→ nogoodid:是无解 而非 无实数解 11/06 19:44
73F：推 condensed:如果已经知道阅卷者喜欢什麽答案，没有人会不知道要去 11/06 19:48
74F：→ condensed:填什麽。但若书本写错，为什麽可以作为支持这样教学的理 11/06 19:48
75F：→ condensed:由？教师的专业之一就是明辨教材的正误性。 11/06 19:48
76F：推 nogoodid:那如果c大你的学生说 还是想写可拿分的答案 你同意吗 11/06 19:50
77F：推 condensed:我的学生在考前就和老师确认过，所以我们当然同意写正确 11/06 19:52
78F：→ condensed:答案。 11/06 19:52
79F：推 nogoodid:意思是学校老师也同意吗 如果是这样当然最好了 11/06 19:54
80F：推 condensed:学校教师的讲义缺乏仔细校正而错误频频 并非新鲜事。引 11/06 19:55
81F：→ condensed:导学生与学校老师沟通，也是种学习。 11/06 19:55
82F：→ nogoodid:那万一不幸 学校老师不同意 学生又还是想拿分呢 11/06 19:55
83F：推 condensed:我会告诉学生正确观念 并请他婉转与学校老师确认（当然 11/06 19:57
84F：→ condensed:不能说是家教老师教的，要假装是自己疑问） 11/06 19:57
85F：推 condensed:学生想拿分和我是否告诉他正确答案有冲突吗？现在不教， 11/06 20:00
86F：→ condensed:一则未来指考学测也要面对，一则学习的逻辑构成阻碍， 11/06 20:00
87F：→ condensed:何以不教？ 11/06 20:00
我觉得这样的方法真的很好，
但并非所有的学生都愿意这样去询问老师。
88F：→ condensed:事情一码归一码，不能因为学校或书本弄错，就抹灭学生 11/06 20:01
89F：→ condensed:知的权利。 11/06 20:01
90F：推 nogoodid:我是指如果都问过了 可是老师就是认为高中范围算错的呢 11/06 20:01
91F：→ nogoodid:c大你误会我喽 我上面推文也说过 一定会解释 11/06 20:02
其实我也很想知道会不会有高中老师会说出明明是对的，
但是「高中范围他就是错的」这种类似的话。
在数学科方面，至少目前我还没看过。
希望有遇过的人分享一下情况。
92F：推 condensed:至於为了拿分而如何云云，那完全是另一回事。私豪不构 11/06 20:03
93F：→ condensed:成我们判别是非的理由。 11/06 20:03
94F：→ nogoodid:知的权利 我是非常肯定的 只是理想和现实冲突时 11/06 20:03
95F：→ nogoodid:我会告知学生对的 让他自己判断取舍 11/06 20:04
96F：推 condensed:我没看到有哪位老师在鼓吹学生与教师对立啊，现在只是讨 11/06 20:05
97F：→ condensed:论教学应该怎麽做。至於试卷迎合是伦理和策略的问题。 11/06 20:05
98F：推 condensed:大家在这里强调的「理想」是扮演好教学的角色 解释清楚 11/06 20:10
99F：→ condensed:观念;而非要求学生与学校教师硬碰硬，这样的理想能否照 11/06 20:10
100F：→ condensed:进现实，操之在己。 11/06 20:10
101F：推 nogoodid:所以c大也不否认这种“策略”了吗 11/06 20:10
102F：→ condensed:学生知情的状况下 是一种策略啊 ；但教师知情而不告，是 11/06 20:13
103F：→ condensed:失职。 11/06 20:13
104F：→ crocker:"x = (2)^(1/2) => x = ±√2" 这里有问题 (2)^(1/2)=√2 11/06 22:38
谢谢，那段我自己也打到脑昏了。
※ 编辑: diego99 来自: 219.85.175.77 (11/07 10:15)