作者arist ( 在他方 )
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标题Re: [解题] 高一数学多项式
时间Thu Oct 31 10:35:08 2013
※ 引述《AirWall (空气墙)》之铭言：
: 1.年级：高一
: 2.科目：多项式
: 3.章节：
: 多项式
: 4.题目：
: x^2-1
: --------- 是不是多项式
: x+1
: 5.想法：
: 最近因朋友拜托缘故，接了高一生数学，
: 太久没碰很多都忘了，
: 这题答案is"不是"
: 想请问为什麽不能约掉来看呢?
: 是因为约掉後的式子意义和原本的式子意义不同吗?
: 这该怎麽解释?
分享一下，我在教学时，不会只给个学生答案。
首先要帮学生建立一个概念
XXX 是不是 OOO 的问题都不是数学问题。
诸如学校很喜欢考 XXX 是不是函数之类的、ＯＯＯ是不是随机变数
就如同费曼的这个故事：
在夏天的周末,费曼的父亲会带他到山上的树林里漫步,并且告诉他树林里所进行的各种
有趣的事情。其他邻居的母亲们觉得这是很 美好的事,所以也要她们的丈夫带她们的小
孩到树林里漫步。
後来他们小孩们在野外玩耍,其中一个小孩对费曼说:「看到那只鸟儿吗?那是甚麽鸟啊?」
费曼回答说:「我是一点也不晓得那是甚麽鸟呢。」
那小孩道:「那是褐喉歌鸫。你的爸爸真的是啥都没有教你!」
其实他的父亲说:「牠是史朋塞鸣禽,在意大利牠叫另一种名字,在 葡萄牙、中国、日本,
牠各有不同的名字。你可以学知那种鸟儿在世界各国的名字,但,学会了那些名字,
你对那种鸟儿依旧是一无所 知。你所知道的,只是人类在世界各地如何称呼这鸟儿而已。
所以, 还是让我们看看那鸟儿到底在做甚麽吧,因为那才是重点。」他接着 说:「例如说,
你看那鸟儿一直在啄牠的羽毛。你看,牠走来走去,在啄牠的羽毛。」
所以呢，我来假想一个很理想的对话情境
Ｓ：「这题 (x^2-1)/(x-1) 为何不是多项式？」
Ｔ：「他是不是多项式我也不是很清楚，要看我们用哪个版本的说法。」
Ｔ：「但我们先不管他是不是多项式，我们先来欣赏一下这函数的特性。」
Ｓ：「噫，这个可以约掉成 x+1」
Ｔ：「真得可以约掉吗？、约分是做什麽事？是什麽意思？」
Ｓ：「分母不能为 0 才能约！、那 x/x 不等於 1 罗？」
Ｔ：「x/x 在 x 不为 0 时才能约。」
Ｓ：「所以这函数有漏洞，会断掉，不会连在一起？」
Ｔ：「『连在一起』是重点。」
Ｔ：「多项式之所重要：就是简单有很好的结构，其中一个好特性就是连续。」
Ｓ：「连续有什麽重要的呢？」
Ｔ：「连续让我们可以比较容易掌握他的行为，不会突然暴走」
Ｓ：「所以我们只要知道他的现在的行为，就可以推估他接下来的行为？」
Ｔ：「大致感觉是这样的，「堪根定理」就是用到这样的特性来找根。」
Ｓ：「堪根定理，听起来很难耶？」
Ｔ：「堪根定理的应用就像我这个胖子都让我可宣称我曾经 50 kg 过。」
Ｓ：「你曾经50kg，很久以前吧！」
Ｔ：「对啊，但就是曾经有过，也没有说天长地久。」
Ｓ：「那不连续，就不保证这样的事情了吗？」
Ｔ：「你看 y=(x^2-1)/(x-1) 曾经让他的 y 值等於 2 吗？」
Ｓ：「曾经的意思是指什麽？」
Ｔ：「函数里面 x 的意涵大多是指时间，所以问何时，通常是问 x 为何？ 」
Ｓ：「在 y=x+1 这函数时，x 为 1，y 就等於 2」
Ｓ：「可是，x=1 无法代入 y = (x^2-1)/(x-1) 变成 0/0 ！」
Ｔ：「出现，0/0 可是会让电脑当掉。」
Ｓ：「所以这题考试时要写『不是』多项式。」
Ｔ：「你在写考卷时，可以想着这是个无趣的考法。」
Ｔ：「但你可以用有深度的思维来写下这简单的答案『不是』」
Ｓ：「『不是多项式』是个很简单的回答，可以说课本定义就这样写。」
Ｓ：「但至少有了解後，就觉得这定义是是用心良苦，这题目也是很重要。」
Ｓ：「当看到题目是多项式时，心里就比较心安，这函数不会太乱来！」
Ｔ：「先学多项式就像先开车先开柏油路，没有太多坑洞比较安全。」
Ｓ：「一开始就要开不平的山路，大概连开都不敢开。」
Ｔ：「那接着我们再来想 x 有绝对值、x 在根号内的好处理吗？」
Ｓ：「x 在绝对值，太恐怖了。」
Ｔ：「课纲编辑委员也是这样想，所以一开始就介定范围，先把最简单的先学好。」
Ｓ：「原来课纲的编排也是用心良苦。」
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◆ From: 123.194.206.104
※ 编辑: arist 来自: 123.194.206.104 (10/31 10:38)
1F：推 FATTY2108:用心 10/31 12:15
2F：推 Redsofa:不会突然暴走 XD 10/31 12:28
3F：推 Sumboy:推一个~超用的..突然想到一个情境,如果学生问 10/31 17:44
4F：→ Sumboy:(x^4-1)/(x^2+1)是不是多项式... 10/31 17:44
5F：→ condensed:如果我是那学生 就会想问暴走是啥意思 严重在哪 10/31 22:10
6F：→ arist:四楼问题很好，我也不知他是不是多项式，要看定义 10/31 23:09
7F：→ arist:但我们可以感受到他在实数的行为都和 x^2-1 一致 10/31 23:11
8F：→ arist:要判定他是否为多项式不重要 判定是多项式後做什麽才重要 10/31 23:12
9F：→ arist:若只是拿来堪根定理堪实根 那这的确可以使用 10/31 23:13
10F：→ arist:要跟学生建立一个概念，定义是为了沟通方便 10/31 23:14
11F：→ arist:不要被定义绑住思考 忘了更主要的目的 必要时定义可以修改 10/31 23:14
12F：→ arist:回五楼，我的学生这样问时，我会说：很好，有在思考喔。 10/31 23:17
13F：→ arist:我们多来想举个例子感受「不连续」有什麽麻烦 10/31 23:18
14F：→ arist:答案不是重要，我们脑里开始思考什麽事才重要。 10/31 23:19
15F：→ arist:要答案就去 google 但 google 到了也别相信要多做思考 10/31 23:21
16F：→ arist:即使是大师讲得也是有错的时候，且对与错都是相对的 10/31 23:22
17F：→ arist:要看你的情境，能解决问题的设定与定义才是重要的 10/31 23:23
18F：→ arist:就像费曼讲的 牛顿力学 你说这是错的，但在生活中是可以解释 10/31 23:23
19F：→ arist:那就把他视为对的也无碍。 10/31 23:24
20F：→ arist:就像 平行线不相交 这件事的对错也没有一定。 10/31 23:25
21F：→ arist:我都会给我学生看这段三个傻瓜的影片 3~4min 11/01 00:06
23F：→ arist:看完後，追问个问题为何要以 machine 为例 11/01 00:09
24F：→ arist:不用其他诸如 能量、生物、函数、元素 等其他专有名词 11/01 00:10