※ 引述《choucj (心尘)》之铭言： : ※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : : 4.重点开始：为何计算样本变异数要用 n-1 除？ : : 假设：母体平均数μ 样本平均数 M : : 计算母体变异数时用 N 来除,无论就逻辑或直觉而言，都是非常显然的 : : 但是我们现在要做的是：以样本变异数来估计母体变异数 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 在处理样本时，计算「观测值与"平均数"间离差的平方加总」的当下， : : 那个"平均数"究竟是母体平均数还是样本平均数呢？ : : 当然以母体平均数是最好，不过如"2."所述，我们拥有的只是样本平均数 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 母体的变异量：Σ(Xi－μ)^2 : : 样本的变异量：Σ(Xi－M)^2 : : Σ(Xi－μ)^2＝Σ(Xi－M＋M－μ)^2＝Σ(Xi－M)^2＋n(M－μ)^2 : : ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ : 抱歉这边我切断一下， : 因为您底下的叙述，又是利用更多问题来解释一个问题的方式。 : 当然您有提出一个故事 你好,我想你误会我的原意了... 因为我预设回覆的问题是：为何样本变异数不选择 n，而选择 n-1 对於一个资质普通的高中生， 我的陈述说明了： 样本变异量仍然除以n，所估计到的母体变异数就会「低估」了 就估计母体而言，样本变异量的分母放 n－1，会缓和低估现象... 就二选一的前提来说,我的工作已经结束.... 我承认一个程度较佳的学生可能还会进一步的问： 换成n－1来估计母体，难道就不会高估吗？ n－0.5 n－0.3 .....其余的可能性不该继续考虑吗? 是的，这确实是有继续努力下去的必要... 但我并不打算继续回答下去... 因为这讨论牵扯到不偏估计理论，对一个中学生无疑是不胜负荷的... 用 n-1 除是为了满足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... 在统计上一个好的估计量常被要求满足不偏性 样本变异数究竟是否为母体变异数的不偏估计 这还牵扯到各样本是否独立的问题 经由简单随机抽样，若所选取之样本可以再放回 此时母体变异数定义为以 N 为分母， 那麽样本变异数以n－1来除才满足不偏性 若是有限母体取後不放回（事实上这更普遍）, 即使样本变异数以n－1来除仍是有偏的 这时反而是母体该采取 N-1....（国外教材中以这个观点更为常见） 至於「标准差」估计母体，以不偏性考量, 则无论是以 n-1、n 来除，标准差的估计都有「误差」... 换言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人为」的... 既然是「人为」的，当然就可以讲出一番道理，但这道理却不绝对， 这也是统计学和数学在学习心理上的差异（统计学不是数学） (或许我们说:随机性数学与确定性数学之差异会更好) 即使对於初学统计的大学生来说，这一整串的论证仍然容易造成混淆 何况是对於没接触过推论统计的中学生而言呢？ 这也是我提起费曼的故事以为殷监的原因... 我同意一个老师要尽量站在高观点的立场来指导数学 但是当此立场与学习者之认知有所冲突时， 便应该以学生的可接受性为主要考量。 仅仅解释为何 n－1 会比 n 来的适当，对中学生我想是够了.... 在这里提供一个自由度观点解释的理路 对象是中学生,当然不偏性估计的讨论只好舍弃..... ............. 样本点对於平均数的离差定义为 Di＝Xi-M 但是 n 个离差 D1,...,Dn , 并不代表n个独立自由变数 因为受一个先天的限制式所约束:ΣDi＝Σ(Xi-M) = 0 所以只有 n－1 个是自由的 换言之...当我们知道了五个离差中的四个,第五个离差值便自动决定 这就是最初浅的「自由度」解释，大概也是一般高中生比较能接受的.... n 个离差，具有n-1个自由度 这代表离差布於R^n空间中的n-1度子空间 而其平方和 ΣDi^2 (样本变异"量") 也具有 n-1个自由度 这在向量空间中代表着 n 度空间中，一点至原点距离的平方 因而样本变异"数"也是具有 n-1 个自由度 一个自由度提供一份变异量， n-1 个自由度提供 n-1 份变异量。 所以总变异量是 n-1 份变异量的和, 除以 n-1 就是平均每一自由度的贡献。 这就是之所以除以自由度，而不是除以离差数的原因... 娴熟线性代数的学生，更可以用较抽象的高观点去体会... R^n 中的一个向量 X＝(X1,...,Xn) 投影到 S＝(1,1,...,1)的分量就是样本平均数。 样本变异数即是垂直投影向量,也就是残差向量的长度平方 显然....S的自由度为1,X的自由度为n,(空间概念中可能你会喜欢叫它维度,这无妨..) 因而样本变异数的自由度为n-1 ................ 试图以「包装後的数学语言」让一个中学生得以体会 你的出发点是值得嘉许的 但切莫注意不可曲学以诠释... 即使是良善的立意也不代表什麽事情都能妥协 像是该用数学期望值时，就不应该刻意省略， 写下 "Σ(Xi－M)^2= n-1个母体变异数" 是不被允许的 发明一些不存在的统计陈述更要避免... 这对学生的误导比帮助还要更大.... 你可以再仔细检视一下自己的论述,讹误处挺多的... 我就不一一举证了... 不过你的立意是良好的，我赞美你尝试的努力... 规避不偏性而又能具备完备的解释,就我而言也是做不到..... 但我却也不想走一条以偏盖全的路啦... 把努力放在未来,对学生还是比较好的.... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 61.56.182.48 ※ 编辑: yonex 来自: 61.56.182.48 (06/19 04:07)