我把各位的解释取各家所长（这只能用我主观判断） 写成一篇对话录....（本文只回答了a～f） 除了各位的意见外，我也发表了自己想法.... 我虚拟了一个对数学真理有热烈渴求的孩子，他的名字叫child 他提问直接而莽撞，甚至还有一点不太礼貌 任何稍微模糊的解释他都拒绝接受...是一个脑袋充满疑问与勇气的学生 然而我们应该包容他的无礼，因为我们的教育环境没有让他有『问号』的空间.... 学校老师怎麽讲的、教科书是怎麽说的....『这是定义，不要问为什麽！』 这些问题虽然是我一时之选， 但我武断的以为：任何一个对数学真理仍保有坚持与渴求的心灵，必定对其产生疑问... 台湾的学生都曾有过child心中的问号！ 台湾的学生却不会有child有具有的 勇气 与 坚持.... 纷沓而致的考试....压下了学生心中十万个为什麽..... 我们以前都在努力考试，现在也教导着下一代如何考试... 最後....大家就什麽都不懂.... 所以我虚拟了这个人物，各位提供了问题解释，而PTT给了孩子呐喊的舞台... ------------------------------------------------------------ child：老师！ 1 为什麽不是质数？ 我知道这是定义，但你必须说服我为何需要这样定义？ ayulmfans：有一个定理很有名，叫『算术基本定理』 算术基本定理：每一个大於1的正整数，都『必定可以』『唯一』写为质数的乘积 这个定理太重要，并且重要在那两个字『唯一』！ 为了这个『唯一性』！我们必须把 1 排除在质数之外， 否则，12表达为『质因数连乘积』（标准分解式）便有无限多种可能性 12＝1x(2^2)x3 也可以是(1^2)x(2^2)x3 ..... 可以是很多种...乃至於无穷多种 这样便丧失了唯一性.... yonex：ayulmfans老师说的没错，丧失唯一性， 那就只剩那句『必定可以』的『存在性』 『算术基本定理』的精神少了一半，因此权宜之计最好是定义 1 不是质数！ child：好吧！我暂时认同好了，毕竟两个老师都出马了... 只是『负负得正』这件事情实在是让我感到困扰呀？ 很不直观呀，在日常生活上无法类推呀？ 求矩型面积不会遇到『负的长度』呀？ yonex：很好，你讲到了一个重点，那就是『面积』。 『乘法一开始的源由』就是因为面积而生的。 只不过，数学这东西很有趣....她所给予的会比你所想要的多。 你在做代数运算时，总是会用到乘法...这时你心里并不会想到面积， 乘法的创造源自於面积，但是这个运算所发挥出来的远比只能算面积还要多的太多了 你承认这一点，就不会对『负数乘负数』这个行为感到意外.... 在回答你这个问题之前，我必须要你接受一件事情，那就是『分配律』 『分配律』是一个公设，如同『乘法交换律』『加法交换律』一样，是一种公设... 公设是『不证自明』的....几乎可以说不能问为什麽它成立... 同一个矩型，『长乘宽』当然等於『宽乘长』（乘法交换率） 一个被分割成两个小矩型的大矩型， 大矩型的面积当然等於两个小矩型面积的总和（分配律） 如果你接受了『分配律』这个公设，那麽『负负得正』就会是必然的事实 waterworld0：以下就由我来推导吧！ 假设你已经接受了『分配率』，也就是 (A+B)xC = AxC + BxC 那麽.. 0＝（－1）（1－1）＝－1+（－1）（－1） 为了让上面那个分配率成立的式子是真的.....所以（－1）（－1）＝1 yonex：waterworld0老师的推论是正确而标准的， 我顺便提供一个....在生活上可以类比『负负得正」的说法给这个好奇宝宝参考 取自葛登能（M.Gardner）的书.... ------------------------------ 『增加』代表『送人进入礼堂』 『减少』代表『叫人离开礼堂』 『正数』意指好人 『负数』意指坏人 『增加负数』就是『把坏人送入礼堂』，这行为减少了礼堂内优质的净值 『增加正数』就是『把好人送入礼堂』，这行为增加了礼堂内优质的净值 『减少负数』就是『把坏人送出礼堂』，这行为同样增加了礼堂内优质的净值 『负一乘负一』代表 把一个坏人送出礼堂 优质的净值增加了 1 『负三乘负五』代表 把五个坏人送出礼堂，如此做三次...优质的净值增加了 15 （-3x-5＝15） ------------------------------ child：我想我能体会了，可是请别以为我准备放过你们了.... 有一个数学运算就做阶乘，我第一次遇到它，是在高中排列组合那一章 请让我丢下这个问题：为什麽 0!＝1？ waterworld0：这有什麽问题，你已经学过排列组合了... 应该可以对这件事情感到直观吧！ 0个东西排列只有一种方法..... child：既然是0个东西，那就是『空无』，还讲什麽几种可能呢？ 我是个任性的小孩....很挑剔的！ 无法接受这样的解释.... kh749：或许我们可以从排列的定义来看... n个东西取其中r个，拿来排列，我想你一定知道怎麽推导出以下的公式 n! P(n,r)＝n(n-1)(n-2)(n-3)....(n-r+1)＝ --------- （n-r）! 那麽如果全部都取来排呢？ 根据你所推导的公式 n! n! P(n,n)＝n(n-1)(n-2)(n-3)....1＝n!＝ --------- ＝ ---- （n-n）! 0! 所以定义 0!＝1是必然的... 这正是『理有必至，所以事有必然』， 但是我们还学要着：知其然 且 知其所以然 child：我想我了解了，当然还需要时间消化吸收一下... 只是...我问题又冒出来了： 为什麽 当 a 为非零实数时，a^0＝1？... 又，当a为0时，学校老师说无定义！ 他在鬼扯什麽呀？！ 什麽都没讲就硬塞给我！ 本人拒绝接受.... ayulmfans：或许我可以用极限来解释.... child：请不要用我听不懂的东西来对我说教.... yonex：我个人认为以极限来解释是不妥的，基本上指数的运算是中小学的课程 极限的解释对学生负担过重， 而更重要的是....指数运算的创造已经有几千年的历史了，远远在早於极限 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 极限观念的创造，如果不能解释任何『先於它的数学理论』 那麽极限概念....会被迫『不相容』於其他数学体系...（会产生矛盾） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 举例来说：大学生学微积分，可以用『定积分』算『矩型面积』 那麽难道可以用『定积分』来解释...矩型面积的公式是长乘宽吗？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 拿较深、较高层、的数学概念...来解释它所站立的基础...在数学上是不被允许的 数学家发明数学想法，的确会『反演运算』到基础去... 但那是为了检验这个『新数学』，有否和数学的基础发生矛盾... 若有...新数学会被『归谬』否定掉.... 较深的概念是不能拿来解释较基础的概念的.... 如同我们不能用复变分析来论证实变分析中的定理... kh749：我来回答好了...a^m代表 a 连乘m次，这是一种方便的记号... 这件事实很重要： （a^m）（a^n）＝a^(m+n) → 这根本是乘法结合律 好了，那指数的除法呢？ 因为 1／（a^m）＝a^（-m） 指数的除法就解决了 （a^m）÷（a^n）＝（a^m）／（a^m）＝a^(m-n) a^m 那麽 ------＝1＝a^(m-m)＝ a^0 所以 a^0＝1 a^m child：你这样是在『绕圈圈』， 你说 1／（a^m）＝a^（-m），於是把 a^0 ＝1 这个疑虑解决了， 但是却又多出另一个问题... 那就是 a^（-m）是什麽？ 你说 a^（-m）就是....把 a m次方後放到分母！ 啧啧～～指数变负号，为什麽会变到分母？ 老师，你只是把问题转移目标而已..... 把 a^0 ＝1 这个问号转移到 a^（-m）是什麽？ 如果说你是为了解决 a^0 是什麽，而定义 a^（-m）＝1／（a^m） 那麽乾脆一开始就定义 a^0 ＝1，问题不就解决了.... 我是死小孩，你必须说服我，我拒绝接受这样的解释.... kh749：child，你怎麽这麽小就这麽顽固.... yonex：孩子，kh749老师这样的解释不能说有错... 你很挑剔，不过还好你逻辑观念不错。我顺着你的理路走看看.... OK！我们回头看一件大家都不争的事实... （a^m）（a^n）＝a^(m+n) 这个事实基於乘法结合律， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 这个式子很美，各位可能不怎麽觉得..... 她可是把『乘法变加法』的式子，是一个『化繁为简』的式子 这个式子所延伸出来的理论，让人们做出了『对数』、『对数表』、『计算尺』 在没有计算机的年代，对数的重要性实在无法形容.... （加速了文明的进步与『延长科学家的寿命』！） 我们无论如何『必须』让这个美妙的式子成立！ 假设我们什麽都不懂，只知道乘法的结合率 那麽....a^m中，m、n必须是正整数，a必须大於零（此外的东西我们什麽都不知道） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 也就是说，你问我 a^(-1)是什麽？我没办法回答... 我只会乘法结合律，a^(-1) 在乘法结合律中看不出端倪..同样 a^0 也是... a^(1/2)呢？ 抱歉，目前我无法定义..... 我只知道 a^2＝axa a^3＝axaxa 所以(a^2)(a^3)＝axaxaxaxa＝a^(2+3)＝a^5 在只知道 乘法结合律 与 指数表达法 的前提下我们就可以写下这个重要的式子 （a^m）（a^n）＝a^(m+n) m、n必须是正整数，a必须大於零 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 并且无论如何，我要保持这个式子.....不惜代价 很快的问题来了...a^0 是什麽？ （心里牢记：（a^m）（a^n）＝a^(m+n)要保持） (a^m)(a^0)＝a^(m+0)＝(a^m) 所以定义 『a^0＝1』 很好！ 只是马上又遇到问题了.....指数若是负整数呢？（心里牢记：要保持式子） (a^m)(a^-m)＝a^(m-m)＝a^0 我刚刚定义过『a^0＝1』了 哦～～所以 (a^-m)＝1／(a^m) 以後遇到指数是负的，就直接翻到分母...太好了 现在我的m、n已经由原本的自然数，拓延到全部整数....使得式子依然成立！ 孩子，这样就解决了你刚刚心中的疑虑，也解决了『绕圈子』的问题... 我知道你想问：m、n可以继续拓延到其他的数（例如有理数、无理数等）， 使得式子依然成立吗？ 答案是可以的...但是请原谅我无法在这里继续论证下去 但是我可以透露：只要a＞0 ，m、n可以拓延到整个实数使得式子依然成立.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 而当a＜0时，m、n只能拓延到整数为止...而使得式子依然成立... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那麽 a＝0 的状况呢？ 0^m＝？ 如果 m≠0 这个问号很容易解决，0无论几次方当然都是0 很快的 m＝0 呢？ 也就是 0^0＝？ 老师和教科书都说无定义！ 其实他们应该说一说为什麽的.... 根据换底公式： 0^0＝10^(log(0^0))＝10^(0log0) ^^^^ log0是负无穷大（－∞），基础数学不认为∞是『实数』 ，我们只讨论实数的数学 所以 0^0 无实数定义，所以无定义... child：你讲了很多，我想我该同情一下你... 暂时接受好了 但不保证等我理解你的长篇大论後，会不会继续钻你漏洞继续挖问题 等等...我又有问题了 yonex：你也等等....我是人，是人都要休息的....所以我要休息。 现在时候不早了，明天我可还要上学... 疑问留到下回分解吧... child：哇～～～三段式论证耶！我怀疑这种逻辑的合理性... 不过还是让你休息一下吧... 待续..... -- 与柏拉图为友，同阿基米德谈心...请您 爱真理胜过於爱老师... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 编辑: yonex 来自: 203.67.107.200 (03/21 04:36)