作者yonex (诸法皆空)
看板tutor
标题Re: [问题] 圆、椭圆的积分
时间Sun Mar 19 00:57:06 2006
※ 引述《aack (喔)》之铭言:
: ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之铭言:
: : 莫名其妙看到 阿积不出来很难过 问问看
: : 圆的周长= 2pi R ---->怎麽积来的?
: 考虑极座标上一个半径为a的圆r = a
: 2π 2π |2π
: 周长 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
: 0 0 |0
: : 同理...顺便问一下椭圆...感谢
: 椭圆的周长是无法积出来的 只能求近似而已
针对椭圆周长的积分 我讲一下好了...
椭圆周长的积分已经被『证明』没有closed form的形式
或是称为:没有初等函数的表示
但是可以使用幂级数逐项积分定理 不改变收敛范围(C.B.可能变动)
可以求到近似值(任意接近真值)
类似的 ∫e^-t/tdt 这个函数称为指数积分
也没有closed form....还有很多很多....
有closed form的不定积分 占的少数中的少数....
在数学上 『近似值』是一个相对的东西....
基本上 单位直径圆的周长也是个近似值
你要说它没有closed form的积分形式也是没有错
阿积米德的希腊积分法(穷举法),圆的周长的确没有closed form
只能算出圆周长上界与下界(利用多边型周长的代迭法可以任意接近真值)
但是这个近似值太重要
我们叫他π
单位直径圆的周长我们硬性给他一个抽象,概念的代号
如果今天你一时兴起....定义一个『单位椭圆』的正准式
并且规定它的周长值为一概念的、封闭形式的符号
那麽椭圆周长的积分..当然也有closed form了
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