今天下午闲闲没事，写了篇微积分中，关於『严谨极限定义』的短文 初等微积分在这部分，常常是初学者甚感头痛的章节 在这里斗胆提供另一种教学方式给各位参考.... 有些家教老师或许正在修习微积分，又或者，有人正家教微积分 但愿这篇文章能对大家有所帮助，并请方家不吝批评指教 ____________________________________________________ 浅谈极限（一休法师的数学对话录） 小妍：一休，你怎麽一整个早上都不在安国寺，我找了你好久。 快救救我吧！现在一整个乱呀～～～ 一休：怎麽啦？我不过帮将军大人到何老板家办点事， 哪知道丽心小姐出了一堆难题考我， 回来的路上又遇到总兵大人，聊个没完没了就拖到现在了…… 小妍？你还好吧？我看你脸色发青耶！ 小妍：吼～～～别提了，事情是这样子的啦！ 你还记得我去东森幼幼班学微积分吗？之前 我还自认为掌握的蛮不错的，哪知道昨天老师教到极限的严格定义与证明， 我只能看黑板乾瞪眼，完全陷入五里雾中。 今天一早急着找你也是为了这档事，聪明的一休，这种事也只有你能帮我了～～ 一休：哦～～原来是这件事呀！我还以为又是谁惹麻烦了。 OK～小妍，那里有棵荫凉的大树，旁边有一块沙地， 不如我们就坐在那儿边乘凉边讨论吧！走！我顺便折个树枝当笔用！ 小妍：好呀！你学欧阳修老妈『画荻教子』咧～～ 一休：呵呵～～我想到的人可是阿基米德呀（Archimedes） ____________________________________________________________________ 一休：学校老师是怎麽讲函数於一点的极限严格定义的，小妍，你帮帮忙写一下罗！ 小妍：OK！没问题，我背的滚瓜烂熟，唉～～只是完全搞不懂他的意思（皱眉） 老师是这样写的： 『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』 看在老天的份上，快救救我吧！这之於我简直是火星文的水准。 一休：先别急，慢慢来罗！对了，我没想到你英文还讲的真不错耶！ 好吧，咱们来想想：奇怪了？之前老师教直观的极限，大家都懂呀！ 为什麽要把事情弄这麽复杂深奥？你能说说看自己的想法吗？ 小妍：数学家总喜欢讲『黑话』让自己看起来更有学问吧！ 好让外行人听不懂而觉得他们很厉害。不然干嘛这麽折磨人…… 一休：小姑娘，我不完全否认你的说法！ 但今天在『极限』这个概念的解释上，完全不是如此。 数学家把极限写成这般『稀奇古怪』又『面目狰狞』的鬼模样， 可不是因为任何自命清高的理由。 为的是把概念『说清楚，讲明白，不失一般性的放诸四海皆准』…… 呵呵～～我看得出你听的有点茫然了， 只是待会你很可能不得不认同这般论调（除非你今天一无所获） 小妍：一休！你别闹我了，现在我满脑子混乱你还火上添油。 一休：回头看看沙地上写的，我尽可能把这段话翻译成白话文，你可要仔细思量呀！ 『对於所有ε>0，必定可以找到一δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。 这个陈述成立的话，我们便说： lim f(x)= L x->a 做个注解好了，你仔细看看喔！ 1. ε>0代表所有正数。 2. 0<|x-a|<δ就是说：当x介於某一个区间。 也就是 a-δ < x < a+δ 且 x≠a，咦？x≠a又是从哪来的！ 其实仔细看看原来那个绝对值不等式， 为什麽要写成的0＜|x-a|而不是0≦|x-a|呢？ 其实正说明了数学家不要让x=a，这也正是极限被发明的精义所在，不是吗？ 3. |f(x)-L|<ε依样画葫芦啦，L-ε < f(x) < L+ε。 总归一句，这里要谈的观念是： 『当 x 逼近 a 时，f(x) 有极限 L。 小妍：大哥呀！你最後讲的那一句我懂， 因为那简直又回到一开始幼幼班里教的直观极限。 可是前面又为什麽要讲一大堆拉哩拉匝的话来混淆视听呢？ 一休：小妍，你以为你听懂了最後一句，其实并没有。 『当 x 逼近 a 时，f(x) 有极限 L』， 什麽叫做f(x) 有极限 L？！我相信你并没有真的懂， 我几乎可以预料到你接下来要讲甚麽话。 小妍：哼！别小看人呀！所谓f(x)有极限L，不就是f(x)很接近L，要多近就可以多近。 一休：哈！我就知道你要这样讲。姑娘，你已经长大了耶！ 再没几年就要嫁人了，要成熟点，不可以像小孩子一样讲这种不成熟的话来， 所谓『要多近就可以多近』，是一句含混不清、不明确又不负责任的话。 当你说：x 逼近 a ，要多近有多近时，那究竟有多近呢？可不可以是0呢？ 当然不可以，是0的话， x不就等於 a 了（那又何必发明个什麽狗屁极限）， 於是你又辩解：好吧！要多近就可以多近，只要不碰到 a ！ 唉～～小妍，我们是在研究数学，可不是搞政治， 似是而非或暧昧不明的话，数学家可是很讨厌的。 他希望你把『要多近就可以多近』这句话『定量』的表达出来。 小妍：你饶了我吧！我想我不是真的懂，不然今天我就不会来找你了。 一休：小姐，极限的存在其实这是一场激烈的『攻防战』， 大部分学微积分的学生并没有看到这一场战争， 『一场ε与δ的战争，ε负责攻打，而δ负责防守』， 如果说：无论ε怎麽出招攻打，δ都能应付要求而防守的住， 我们就说f(x) 有极限 L。』 小妍：怎麽扯到打仗去了，讲的比学校老师还要玄。 一休：假设我们今天生活在数学国，敌军进犯咱们家园， 总兵大人就会在城墙上驻军防守。 小妍，一起来瞧瞧战况吧！ 敌人希望能破门而入，在部队里架设炮台 （炮台就是函数f(x)，因为经费有限，敌军只有一座炮台）， 装填炮弹向咱们轰打（ε就是炮弹）。 可想而知，当敌军攻不进去的时候， 就会想办法加强炮弹火力（ε越小，代表炮弹越尖锐，火力越大） 小妍：总兵大人要怎麽防守？不会是用δ吧！只剩这玩意没出场了。 一休：这回你讲对了！就是要用δ防守敌人丢过来的ε。 并且当炮弹越先进越猛烈，也就是ε越小， 那麽咱们总兵大人抵挡的防御性武器δ通常也就要越坚固， 这便是防御的δ要越小…… 小妍：但是ε不能取0，因为这样子f(x)就会等於L了， 这样会逼的总兵大人可能要以δ＝0来防御， 而δ＝0正是 x＝a ，这恰好违反极限之所以被发明的精神。 一休：我几乎没办法回答的比你更好了。 但是我再补充一点：并不是 f(x) 不会等於 L ，只是敌人不能要求ε＝0， 也就是敌人不能要求f(x)=L，即使f(x)真的等於L也不能使用。 这如同今天国际情势一般，大家讲好无论哪种战争都不可以使用核子武器。 小妍：可是这个敌人很强悍，也很狡诈，除了核子武器之外的东西他都可以尽情使用， 也就是讲的出来的正数ε，他都敢用也都允许使用而不违反国际公约。 一休：很高兴你又答对了一次。我相信经由这般的引导， 如今你已经茁壮到可以回答我的提问了。 来～～考考你！ 小妍：尽管考！ 一休：所谓 "f(x) 有极限 L" 是在讲甚麽？ 小妍：基本上我们的意思是: f(x) 很靠近 L。 一休：那有多靠近？ 小妍：你说要多靠近都做得到，因为现在极限已经存在， 但你这个敌军不能要求 f(x)=L。 一休：我希望 |f(x)-L|<0.01，你防的住吗？ 小妍：只要我把 x 够接近 a, 但 x≠a，就一定防得住！ 一休：那麽，要求 |f(x)-L|<0.000000000000001 呢？ 小妍：没问题！只要我让 x 够接近 a，而且 x≠a。 一休：那麽...是不是我随便说一个数 ε＞0，只要 x 够接近 a，而且 x≠a， 就能保证|f(x)-L|<ε！ 小妍：没错! 『f(x) 有极限 L』就是这个意思！ 可是...甚麽叫 "x 够接近 a" (而且还要 x≠a)？ 我不敢说要考一休大师，只能请教了，因为接下来我是真的不懂了！ 一休：OK！ "f(x) 靠近 L" 不稀奇；但它是有条件的， 那就是 "x 够接近 a而且 x≠a"。 重点要来了！ 我们必须有个标准来评估是否 " x 够接近 a"？ 我们可能取一个标准ε>0，凡是 0<|x-a|<δ，也就是x 和 a 的距离小於 δ， 就说 x 够靠近 a。 小妍：那... δ 要取多少？ 0.1？ 0.01？ 一休：注意，δ 是不能任意取的，打个比方好了，今天防守敌军来袭， 所需要使用的防御武器选择， 并不是由总兵大人，或是何老板，或是小妍你和一休我所能决定的， 『是由打过来炮弹ε来决定我们要用什麽δ去防守。』 如果δ取得太大，就不能保证 |f(x)-L|<ε了！ 所以，一般δ的选取是要看ε来决定的； 当然，除了 ε的大小会影响到δ以外，函数 f 的形式也会有影响。 於是数学家会这麽讲:『δ是ε的函数，δ的值被ε所统御，δ可以写成δ(ε)。』 小妍：好像有点难，可不可以举个例子。 一休：在我举例之前，我再次强调ε这个大於零的实数必须先被选择出来， 然後正数δ才『被』产生出来。 如果对於所有提出的ε，都可以找到δ予以应付的住， 我们便说：函数在该点处之极限值存在。 容我立刻写下严格的极限定义， 我但愿你看着这个刚刚还不知所云的定义，已能有不同的观点与感受。 Definition （precise meaning of limit） 『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』 EX： Prove lim（2x+1）＝7 x->3 战况分析： 攻方鲁班（楚国），守方墨翟（宋国） 战国初年楚国攻宋，大战即将展开， 鲁班将会以任何ε＞0为武器对墨翟发出挑战， 现在鲁班选择ε＝0.01，墨翟看了一下lim（2x+1） x->3， 他猜测这个极限应该会是7。 现在墨翟是否能找出一个δ使得当 0<| x-3 |<δ 时， 会让 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01？ 墨翟运用一点小小代数技巧写下 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.01 ＜＝＞ 0.01 ｜x－3｜＜ ----- 2 墨翟胸有成竹的说：只要我δ取 0.01/2（或者是更小） 也就是让0＜｜x-3｜＜0.01/2 ，便可抵挡你的炮火， 使 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01 这巴掌恼火了鲁班，他决计使出更为猛烈的攻势，再次挑战， 这次他毫不手软的提出ε＝0.000001， 墨翟这下要怎麽防守呢？他笑了:鲁老弟，你还真『卢』咧！硬是想再被羞辱一次。 |（2x+1)－7| ＜ 0.000001 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.000001 ＜＝＞ 0.000001 ｜x－3｜＜ ----------- 2 我取δ＝（0.000001）/2 ，使得当 0＜｜x－3｜＜（0.000001）/2 ， 便保证|（2x+1)－7| ＜ 0.000001 我看你也别气的这样敲桌子踢板凳罗～～早点带着你的炮弹回家养老吧！ 鲁班赶紧回部队和幕僚商讨研发更小的ε，墨翟摇摇头，心想， 这样战事下去也是没完没了 （永远无法『证明完』这个极限，因为鲁班可以一而再再而三不断提出更小的ε）， 有没有一劳永逸的方法？他坐下来喝了口茶，决定写一封信亲自交给敌营的鲁班… ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 鲁老弟亲亲如晤： 多年不见，别来无恙，在这里我也不说客套话了，您仔细瞧瞧吧： ε |（2x+1)－7）| ＜ε ＜＝＞ 2｜x-3｜＜ε ＜＝＞ ｜x－3｜＜ ----- 2 只要我取δ＝ε/2 ，也就是每当｜x－3｜＜ε/2 ，就确保 |（2x+1)－7）| ＜ε， 到这个时候你也该知道，无论是现在还是将来，你的一切努力都将徒劳无功。 宋国只是个瘠弱的小国，楚王有容乃大， 至於鲁兄，不如早点打道回府才无损您阁下的智慧。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 鲁班当场展信看完『我还是知道怎麽打赢宋国，我有办法！』停了一会， 鲁般讪讪的说：『真的！我有办法，但是我不说……』 『我也知道你怎麽赢我的』墨翟却镇定的说：『但是我也不说。』 『你们说的是些什麽呀？！』楚王惊讶的问道。 『鲁老弟的意思』墨翟旋转身去，回答道： 『不过是想杀掉我，以为杀掉我，宋就没有人守，就可以攻了。 然而我的好朋友一休已经把这个守城（极限）的秘密告知给小妍、李武靖、 将军大人，甚至连丽心小姐都知道了，那娘子的大嘴巴是出了名的， 想必现在全宋国都知道了，并且热烈欢迎楚国的挑战。 鲁老弟就是杀掉我，也还是攻不下的！』 『先生是主张非攻的。墨老师，我没有见你的时候，想取宋； 一见你，即使白送我宋国，也没有让我得以窥见极限的奥义还来的快乐。』 面向楚王：『大王！我们还是回去吧！』 __________________________________________________________________ 一休：借用这个历史故事，我相信聪明如你已经能把握严谨极限的精神， 接下来就是多做些题目，好让这个初酿的思想更为通透清澈。 小妍：呵呵～～聪明的一休，你举的例子不只浅显易懂，也太贴切了， 春秋战国百家争鸣，烛之武、苏秦、张仪、范雎、孟轲…… 以能言善道，三寸不烂之舌纵横捭阖诸国，得君行道以为志者，多到简直泛滥。 或许当年若多个数学家而少个兵家、法家之流，天下会多一点太平也说不定。 一休：呵呵！就你刚刚那句话，我本想继续同你长篇大论一番。 不过现在时候不早了，赶紧把今天的讨论做个总结吧： 你现在已经知道…… 数学家并不是无端的要把极限的定义写的这样狰狞丑陋又咬文嚼字， 相反的，只有这样子的定义，才能把宋国解脱，才能让鲁班低头， 才能把极限存在的证明划下句点，否则将永无止尽。 也只有这样看似玄之又玄，实则清澈乾净的定义，才能放诸四海皆准， 否则甲的说词是一套，乙的说词又是一套， 『要多接近有多接近，且不碰到』这是一番含混暧昧的话语，不是吗？ 你再看看同样打混的话， 总兵大人前几天跟我这样说：『很接近，但不是0啦！ 所以可以放在分母求切线斜率……啊！就说不是0啦！ 我问：『那到底是什麽？是数字吗？是幽魂吗？』 他说这有什麽好问的，因为……他……也回答不出来， 反正他气急败坏的不断辩解：要多接近0就有多接近0啦……』 小妍：呵呵～～如今我听了这番话也觉得有点离谱， 刚刚我还沈沦在这种『说词』当中咧！ 想不到现在我已脱胎换骨，当然，这都要感谢一休您的调教。 我在想：这麽快就能理解并赞同极限的奥义， 或许我真具有数学家的天分与素质喔？你说呢！一休……？ 一休：别傻了，这一切都是幻觉。数学家真能这麽容易当的话，我也不作和尚了！ 下次换你教总兵大人喔！ 呼～～你瞧，说着说着天都快黑了， 修念、珍念想必等到都饿坏了，咱们快回去吧！ 小妍：嗯，OK！～～～…………ㄚ你怎麽用跑的呀，等等我呀一休～～～ --

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