作者EggAche (蛋疼)
看板trans_math
标题[重积] 97 元智资管(三) 三重积分
时间Fri Nov 20 15:27:10 2015
5. Find the volume of the solid T enclosed by the surface
(x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2z(x^2 + y^2)
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想法是利用球座标进行积分
(1)
Let x = ρsinψcosθ , y = ρsinψsinθ, z = ρcosψ
|J| = (ρ^2)sinψ
(2)
ρ^4 = 2(ρ^3)(cosψ)(sinψ)^2
Assume ρ ≠ 0
ρ = 2(cosρ)(sinρ)^2
(3)
Then Volume = ∫dV = ∫∫∫ dxdydz
= ∫∫∫ (ρ^2)sinψ dρdψdθ
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只是以这题来说，上下限该如何决定？
θ from 0 to 2pi 应该没什麽大问题
ρ from 0 to 2(cosρ)(sinρ)^2 应该也没问题
ψ from 0 to pi/2 or pi？ 以原题来说 z 恒正吗?
原式作移项得到 z = (x^2 + y^2 + z^2)^2 / [2(x^2 + y^2)]
虽说右式恒正，可是里面包含了z，可以直接这样看吗？
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