作者Honor1984 (希望愿望成真)
看板trans_math
标题Re: [积分] beta function
时间Fri Dec 11 00:05:23 2009
※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之铭言：
: 证明B(p,1-p)=pi/sinp(pi) (0<p<1)
: 我用三角函数那个式子算不出来
: 恳请指教罗
B(p,1-p)
1
= ∫ x^(p-1) * (1-x)^(-p) dx
0
令 x = (sinθ)^2
π/2
= 2∫(sinθ)^(2p-1)(cosθ)^(-2p+1)dθ
0
令 u = (tanθ)^2 或者乾脆从定义代换新变数u = x/(1-x)直接跳到第三行
∞
= ∫ u^(p-1)/(1+u) du
0
1 u^(p-1) 1 u^(-p)
= ∫--------du + ∫---------dx
0 1+u 0 1+u
∞ (-1)^k (-1)^k
= Σ [--------- + ----------]
k=0 k-p+1 k+p
∞ (-1)^k
= Σ --------
k=-∞ p + k
1 ∞ (-1)^k (-1)^k
= --- + Σ [------- + --------]
p k=1 p + k p - k
1 ∞ π 1
= --- + {Σ ∫[cos(p + k)x + cos(p - k)x]dx} * [--------]
p k=1 0 sin(pπ)
1 π ∞ 1 π π
= {---∫2cos(px)dx + Σ ----∫2cos(px)cos(kx)dx cos(ku)}[ * [--------]
2π 0 k=1 π 0 u=0 sin(pπ)
π
= cos(pu)[ * --------
u=0 sin(pπ)
π
= ---------
sin(pπ)
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 122.124.100.62
1F：→ ntust661:推推 140.118.234.83 12/11 15:55
2F：推 midarmyman:THX. honor 114.38.251.19 12/11 18:56
3F：→ midarmyman:第二行有小错误 dt dx 114.26.214.196 12/11 23:11
4F：→ midarmyman:第三个等号後面怎麽来的 114.26.214.196 12/11 23:16
5F：→ Honor1984:因为原本打t 後来乾脆换成x dt忘了换 122.124.99.126 12/11 23:29
6F：推 midarmyman:第三个等号後面怎麽分成积分相加? 信 114.26.214.196 12/11 23:40
7F：→ Honor1984:应该说第二个等号式定义 122.124.99.126 12/11 23:48
8F：→ Honor1984:然後你导到三角函数 我写反了 因为定义 122.124.99.126 12/11 23:48
9F：→ Honor1984:是我後来加的 122.124.99.126 12/11 23:48
※ 编辑: Honor1984 来自: 122.124.99.126 (12/12 00:27)
10F：推 midarmyman:第四个等号後面怎麽分成绩分相加的? 140.117.198.78 12/14 19:30