作者mathmanliu (烦恼即是菩提)
看板trans_math
标题Re: [考古] 请教两题微积分
时间Thu Feb 26 02:33:30 2009
※ 引述《ADAH33 (逐渐消失的生命)》之铭言：
: 1. Let f(x) be a cont function on [1,a]
: 1 < = f(x) < = a for all x 属於 [1,a]
: prove that there exists one number k 属於 (1,a)
: such that kf(k)=a
: 2. let G(t)= 积分 e^(-x)x^(t-1) dx
: 0到 无穷大
: (1) show that G(n)=(n-1)! (2) find G(1/2)
Q1: 勘根定理
设F(x)=xf(x)-a
1. F(x)在[1,a]内 conti.
2. F(1)=f(1)-a <=0 (因 f(x)<=a)
3. F(a)=af(a)-a=a[f(a)-1] >=0 (因 f(x)>=1)
由勘根定理知 F(x)=0 在[a,b]内至少有一根
Q2: Gamma函数
∞ ∞
(1) G(
n)=∫ exp(-x)x^(
n-1) dx = ∫ x^(n-1)d[-exp(-x)]
(By parts)
0 0
∞
= -x^(n-1)exp(-x) (代x=0~∞) + (n-1)∫exp(-x)x^(
n-1-1) dx
0
= 0 + (n-1)G(
n-1)
π
(2) Gamma function 性质 G(x)G(1-x)= ─────
sin(πx)
令x= 1/2 => [G(1/2)]^2 = π => G(1/2) = √π
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◆ From: 123.193.32.236
1F：推 power1106:请问各位转学考微积分会考 有关向量得微 163.23.231.88 02/26 21:56
2F：→ power1106:积分吗? 163.23.231.88 02/26 21:56
3F：推 winnie1220:台大几乎必考 後面变化不多啦 看定义 140.123.221.99 03/03 02:20