作者SDUM (Roger)
看板trans_math
标题Re: [积分]古汀
时间Tue Dec 16 08:37:59 2008
※ 引述《grant310657 (Q贤)》之铭言：
: D={(x-2)^2+y^2<=1,y>=0}
: 此区域绕y=x旋转所得的体积
: 请问怎麽用古汀公式
: 或是有其他方法
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1.题目指 (x-2)^2+y^2<=1 的上半圆绕 y=x 的体积
2.先求上半圆的形心
1>x=2
π 1
∫ y dA ∫ ∫ (rsinθ) rdrdθ
D 0 0
2> y = ────── = ─────────────
∫ dA π 1
D ∫ ∫ rdrdθ
0 0
4
= ──
3π
4
3> 求 (2,──)到 y=x 的最短距离
3π
4
d^2 = (x-2)^2 + (y - ──)^2 =f
3π
ψ = x-y =0
有极值产生时，代表 f和ψ两曲线相接触，
且接触点的两个法线向量互成一比例值 (-λ)
▽f(x,y) = -λ ▽ψ ─> ▽f(x,y) +λ ▽ψ=0
4
▽f(x,y) = 2(x-2)i + 2(y - ──)j
3π
▽ψ(x,y) = i-j
即 2(x-2) + λ(1) =0
4
2(y - ──) + λ(-1) =0
3π
8
λ = 4-2x = 2y - ──
3π
和 x-y =0 联立
2
─> x = y = 1 + ──
3π
4 8 8
d = √{(x-2)^2 + (y - ──)^2} = √(2 + ─── - ──)
3π 9π^2 3π
2√2
= √2 - ───
3π
2√2 1
4> 所求 = (2πd)A = 2π(√2 - ───) ‧ ──π
3π 2
2√2
= (√2 π^2) - (───π)
3
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