作者TaiwanFlight (飞翔吧 ,台湾!!)
看板trans_math
标题Re: [微分] 有关极限唯一性的证明
时间Thu Oct 30 18:36:06 2008
※ 引述《xylona (红)》之铭言：
: 要证明极限的唯一性，
: 我问到了一个答案，本来想回家之後自己再想一想，
: 却还是一直没有办法明白…（我笨，呜～）
: 先设 lim x->c f(x)=L1 及 lim x->c f(x)=L2，然後证 L1=L2
: ε > 0
: 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2, δ1 > 0
: 0 < |x-c| < δ2, |f(x)-L2| < ε/2, δ2 > 0
: 这里就不懂了, 为什麽是ε/2而不是ε？除以2是怎麽来的？
此取ε/2只是未了证明的一个技巧,
"正常"应该是这样 : 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε'
故必定有ε(取ε< 2ε') 使得 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2 < ε'
δ2时亦同
: 令δ = min {δ1 , δ2 }
: |L1-L2| = |L1-f(x)+f(x)-L2|≦|f(x)-L1|+|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε
: 我想了很久，就是想不透为什麽推出↑这一行就能有以下的结论了…
: 在网上有看到可用三角不等式推，但是我不知道怎麽推。囧
d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y) [d表距离]
|L1-L2| ≦ |L1-f(x)| +|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε
这是基本的三角不等式的形式
: L1-L2 = 0
: L1 = L2
: 会是因为δ已是最小值，所以两个ε/2可以在|L1-L2|时相减所以才等於0吗？
因为 for each ε> 0
|L1-L2| ≦ε iff L1 = L2 (iff = if and only if)
这是证明 L1 = L2 的一种技巧
不需要证明 x - y = 0才说他们两个相等, 只需要说
for each ε> 0 , y ≦ x+ε iff x = y
: 可是如果这样的话好像又怪怪的。
: 希望板上的大大能指导一下，
: 下次微积分的课还要五天以後…很难忍到那时再问orz
: 拜托了！m(_ _)m
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 210.240.176.170
1F：推 xylona:啊!看完您的解释後 我明白了^^ 非常感谢!!! 59.115.197.138 10/30 19:15
2F：→ Eliphalet:for each ε> 0 , y ≦ x+ε iff x = y 122.127.99.219 10/30 21:40
3F：→ Eliphalet:这是错的 122.127.99.219 10/30 21:41