作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题Re: 微积分证明题
时间Sun Oct 19 20:45:36 2008
※ 引述《coffee1205 (佐岸)》之铭言：
: Let f(x)=x/|x|.Prove that limitf(x) does not exist?
: x趋近0
: Hint:Show that no number L qualifies as the limit because
: there always some x such that |x| < delta,but |f(x)-L|大於等於1/2
: ,no matter how small delta is taken.
: 这题我想很久,但是解不出来,有没有哪位好心人士可以帮帮我,小弟感激不尽!!!
1F：→ yhliu:请证明: For any L, 存在 e>0, such that218.170.31.13 10/19 18:26
2F：→ yhliu:for any d>0, 存在 x 满足 0<|x|<d 但218.170.31.13 10/19 18:27
3F：→ yhliu:|f(x)-L|>e.218.170.31.13 10/19 18:27
要证 lim f(x) 不存在, 即是证明:
x→0
For any real number L, L 不是 f(x) 当 x→0 时的极限.
假设以上 "lim f(x) 不存在" 的陈述不对, 那就是说:
For some L in R, lim f(x) = L.
也就是说:
For any e>0, there exists d>0 s.t.
|f(x)-L|<e whenever 0<|x-0|<d.
因此, 要证明 "lim f(x) = L 不成立", 即是证明
存在 e>0 s.t.
for any d>0,
存在 x s.t.
0<|x-0|<d but |f(x)-L|>e.
注意
f(x) = 1 when x>0, and = -1 when x<0
因此, for any L in R,
|f(x)-L| = 1 + |L| iff.
(x>0 and L≦0) or (x<0 and L≧0)
这表示:
取 e in the interval (0,1), 例如 e=1/2, 则
不论 d 取多小, 只要 d>0, 都可找到 x 满足
0<|x-0|<d and |f(x)-L|>e.
具体的取法是:
L≧0 时可在区间 (-d,0) 取 x 值;
L≦0 时可在 (0,d) 取 x.
这完成了 "lim f(x) = L 不成立" 的证明.
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注意 "证明" 是要告诉读者:
"根据甚麽理由, 所以结论成立."
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◆ From: 218.170.31.13
4F：→ zptdaniel:请问,我上面那个写法对吗? 123.194.97.168 10/19 20:47