作者G41271 (茶)
看板trans_math
标题Re: [单变] 积分不等式--证明
时间Sat Mar 29 20:53:29 2008
※ 引述《WZD (" ￣.￣)/ 录取(！)》之铭言：
: 请问如何证得下列不等式，谢谢
: π １ π
: －＜∫ √(1-x^4)dx＜ －√２
: ４ ０ ４
: 感谢
1-x^4 = (1-x^2) (1+x^2 ) > (1-x^2)*1 >0
两边开根号後推出
√(1-x^4) > √(1-x^2)
另外 因为 0 < (1-x^2)^2 = 1-2x^2+x^4
1-2x^2 > -x^4 2-2x^2 > 1-x^4 >0
两边开根号後得出
√2 * √(1-x^2) > √(1-x^4)
所以
√(1-x^2)＜ √(1-x^4)＜ √2 * √(1-x^2) (0<x<1)
1 1 1
∫√(1-x^2)dx＜∫√(1-x^4)dx ＜∫√2 √(1-x^2)dx
0 0 0
而√(1-x^2) 用三角代换就OK了
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.200.88
1F：推 WZD:真详细，谢谢！ 61.62.79.105 03/30 23:27