※ 引述《clampinto ( )》之铭言： : 物理系微积分（上）第二次期中考试题　　93年12月10日 :ꄊ: ８. sinx : （a）f(x)=------　试证:ｆ在(0，π)上严格递减 : x : 　　　　　　　　 π sinx : （b）决定ｋ之值使∫│------ － ｋ│dx 最小　　（15分） : 　　　　　　　　　0 x : ↑ : sinx : （注意:∫------dx 非基本函数，不要试图积分它） : x : 　　　　　ps.原本还有图形，画不出来 : sinx sint 设 ------ = k 的解为 x = t -> k(t) = ------ x t π sinx t sinx π sinx ∫ │------ － ｋ│dx = ∫ ------ － ｋ(t) dx + ∫ k(t) - ------ dx = f(t) 0 x 0 x t x df δf dx δf dt δf δf ---- = ----- ----(t) + ----- ----(t) = -----(t) + -----(t) (x=t) dt δx dt δt dt δx δt δf sint sint -----(t) = {------ - k(t)} + {k(t) - ------} = 0 δx t t δf t -dk(t) π dk(t) dk(t) -----(t) = { ∫ ------- dx } + { ∫ -------- dx } = {π-2t}------- δt 0 dt t dt dt df dk(t) -> ---- = {π-2t}------- dt dt π let f'(t) = 0 -> t = ---- or k'(t) = 0 2 sint d ------- t tcost - sint ----------- = ------------- = k'(t) dt t^2 k'(t) = 0 -> tcost - sint = 0 -> t = tan(t) -> t = 0 tcost - sint cost -tsint -cost 考虑 lim -------------- = lim ------------------ t->0 t^2 t->0 2t -sint = lim ------- = 0 其实t=0本来就是边界值 t->0 2 所以k有可能是k(π/2) , k(0) , k(π) 在原式中代入 sinx = x - x^3 / 3! 的近似值 应该就可以判断出最小值在哪 有错请指正 ９. : 　　　　　　　　 1 1 1 : （a）试证:㏑ｎ＞--- + --- + ．．． + --- : 2 3 ｎ : 　　　　　｛0　　 ；　x无理数 : 　　　　　｛　　 : （b）f(x)=｛ 1 ｑ : 　　　　 ｛--- ； x=----　ｐ、ｑ互质 : 　　　　　｛ｐ　　　　　 ｐ : 　 试证:ｆ在[0，1]上Riemann可积分，并求其积分值　　（15分） : （以上九题，任选八题作答） : 我的天阿，终於打完了...还以为这份题目应该最好打＝＿＝|| : 有空的话在把上学期第一次、第三次，还有这学期第一次的题目贴上来^_^ : （※这是杨老大的考题　老大已经退休了：p） --

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