N作者aether982 (CalculusN ﰠ)
看板trans_math
标题Re: [问题] 关於反函数
时间Tue Feb 24 02:35:39 2004
: Let f(x)=S√16+t的四次方 dx从1积到2x
: a. Prove that f has an inverse.
: b. Find f的反函数的微分(0)
a.
d d 2x 4
-- f(x)= -- [∫ √(16+t )dt] = 2*√[16+(2x)^4] =2*4*√(1+x^4)
dx dx 1
for all x satisfies f'(x)>0 ,so f(x)
严格递增, 所以f(x)为
1 to 1 function ,
故
存在有反函数
(至於是否onto便不在此讨论,因为我们可以任意缩小codomain)
b.
-1 -1
假设你知道 (f )'(x) = 1/f'(f (x))
-1 -1
题目应该是要求 (f )'(0) = 1/f'(f (0))
-1
故先求 f (0)
2x* 4
f(x*) = ∫ √(16+t )dt = 0 <==>由
定积分定义可知 x* = 1/2
1
-1 -1
so (f )'(0) = 1/f'(f (0)) = 1/f'(1/2) = 1/[8√1+(1/16)]
(由a)
=1/(2√17)
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答案很怪...忽然想到的做法...不知道对不对喔...
痾...我改了很多次...
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