作者MathTurtle (恩典)
看板W-Philosophy
标题Re: [问题] 人都会死吗? vs数学归纳法
时间Wed Jan 23 18:38:38 2013
※ 引述《herstein (翔爸)》之铭言：
: ※ 引述《gj942l41l4 (艳鹌鹑)》之铭言：
: : 你猜对了，数学归纳法不能到无穷
: : 来举个高中数学程度的例子
: : a_n = 1/2^n 来证 a_n > 0
: : n=1时A_1 =1/2 > 0成立
: : 设n=k时a_k > 0成立
: : 则n=k+1时，a_(k+1) = a_k / 2 > 0 显然成立 (正数/正数仍为正数)
: : =>对於所有n，a_n>0恒成立
: : 但将n拉到无穷，lim(n to infinity) 1/2^n = 0
: : 正是一个数学归纳法不能推到无穷的简单例子
: : 其实我不大懂能不能归纳到无穷跟科学有没有比哲学好的关系在哪@@
: 其实这样的论述有点问题
: 你把极限的概念跟集合基数的无穷混在一起谈
: 数学归纳法的概念原则上是这样:
: 假设S是一个集合(具有某种性质)，对每个S中的成员s都存在一个与s有关的命题P(s)。
: 如果你知道P(s)在某些S中的成员s是成立，则对所有S中的成员P(s)均成立。
: 我们用A来表示S的子集。我们用P(A)来表示当s属於A时，P(s)成立。数学归纳法的精神就
: 在於P(A)到P(S)的过程。
: 集合S的基数(Cardinality)可以是可数(例如自然数整数)也可以是不可数。
: 自然数集合是无穷可数，但他是无穷集合。而归纳法是允许S是不可数的。
: 通常允许S是不可数集的归纳法我们称为transfinite induction。
: 微积分取极限的过程跟数学归纳法是两回事
你想说的好像是最後一句,
不过看不太出来这和你前面关於数学归纳法的描述有什麽关联。
不知道能不能再多说明一点。
因为我看原 po 这里的「取极限」明显不是微积分取极限的过程,
只要是说明有一个状况是: 令 P(x) 代表 1/2^x >0 这命题,
那麽虽然对於任何自然数s, P(s)成立,
但对於这些数的union, 即ω (即最小的无穷集), P(ω)却不成立。
这应该才是原 po 的意思。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 82.26.7.187
1F：推 herstein:因为取极限的定义跟数学归纳法是两个不同的东西 01/23 18:42
2F：→ MathTurtle:我不觉得原 po 有主张这两个是相同的东西。 01/23 18:46
3F：推 herstein:而命题在某些自然数对，可能也对正实数是对 01/23 18:47
4F：→ herstein:并不能用"数学归纳法不能取极限"来说论述是不能取极限 01/23 18:47
5F：→ herstein:因为取极限跟数学归纳法是两回事 01/23 18:48
6F：→ herstein:例如P(x): 2^x>0。我们知道x在自然数是对，实数也对。 01/23 18:48
7F：→ MathTurtle:原 po 并没有用"数学归纳法不能取极限"来说论述是不能 01/23 18:49
8F：→ herstein:他没有主张是相同，但不可以拿来讨论。因为取极限跟数学 01/23 18:50
9F：→ MathTurtle:取极限, 原po要说的是数学归纳法不能到无穷。 01/23 18:50
10F：→ herstein:归纳法无逻辑关联 01/23 18:50
11F：→ MathTurtle:原 po 没有把取极限和数学顾纳法做出逻辑关联啊 01/23 18:51
12F：推 herstein:当他说"数学归纳法不能到无穷"，取的是极限的例子 01/23 18:53
13F：→ herstein:就是再把两个逻辑无关的东西试着做联系 01/23 18:53
14F：→ MathTurtle:他只是拿极限当例子, 但是他的意思是 P(x)就算可以用 01/23 18:53
15F：→ MathTurtle:在所有的自然数上, 但却P(ω)不一定成立, 是用这个来 01/23 18:54
16F：→ herstein:他这里的无穷用的是极限的例子，很明显的是他无穷指的是 01/23 18:54
17F：→ herstein:取极限这样的过程 01/23 18:54
18F：→ MathTurtle:说明数学归纳法不能到无穷, 後面这部份不是极限 01/23 18:55
19F：→ MathTurtle:那看你怎麽理解。我会把他这里的无穷指的是ω 01/23 18:55
20F：→ MathTurtle:而不是指取极限这样的过程 01/23 18:56
21F：推 herstein:而我上文说了归纳法的论数可以讨论cardinality不可数的 01/23 18:56
22F：→ herstein:要嘛就是讨论自然数的，要嘛就是讨论不可数的transfinite 01/23 18:57
23F：→ herstein:induction...如果把极限拿来谈归纳法就错了 01/23 18:57
24F：→ herstein:他如果想表达的是P(n)对自然数成立但对P(x)并不一定成立 01/23 18:58
25F：→ herstein:这是有可能的，但这与数学归纳法无关 01/23 18:58
26F：→ herstein:数学归纳法并不involve极限的过程 01/23 18:58
27F：→ herstein:"所谓的数学归纳法不能到无穷"是一个奇怪的论述 01/23 18:59
28F：→ herstein:所谓的无穷你指的是甚麽?你要讨论他之前你必须先给定义 01/23 19:00
29F：→ herstein:在自然数的数学归纳法中本身就不involve实数 01/23 19:01
30F：→ MathTurtle:就是指 ω 啊...我不觉得这个有太大的问题。 01/23 19:02
31F：推 herstein:那不叫做数学归纳法不能推及无穷 01/23 19:03
32F：→ herstein:而是自然数的数学归纳法并不涉及P(x), x是实数 01/23 19:03
33F：→ herstein:他讨论的对象就是x属於自然数或是自然数的子集 01/23 19:04
34F：→ MathTurtle:嗯...最後这个我大致同意。 01/23 19:09
35F：推 herstein:但能不能有归纳法是可以引入"极限"的 01/23 19:12
36F：→ herstein:应该可以，只是要说明极限是甚麽。 01/23 19:13
37F：推 herstein:只是不知道这样的范畴大不大，有没有用而已 01/23 19:15