※ 引述《dementia (妖精尾巴魔导士)》之铭言： : ※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之铭言： : 在此先感谢一下d大能够费心照顾像我这种数理低能的人， 不知道d大的大作哪时候能让小弟我一观，好了解一下Godel的不完备定理。 不过，由於小弟在推文也起了个头，说一般哲学家常误解Godel定理， 在这里，小弟必为我过於轻佻的言语道歉，正确来说，是不懂数理逻辑的哲学家 和不用功的哲学家才会犯下这种误解。 不过，小弟也基於好奇心来查一下一般人对於Godel定理的误解。 以下这篇文章是小弟从大陆博客找来的，跟我之前所认知的差不多， 但是小弟并非深研逻辑或是数学之人，所以里面有什麽问题的话， 还是须要d大这类的高手解惑： 「常见误解一：“所有的公理系统都是不完备的”。这是最常见的， 甚至有人用这点来否定逻辑学，这是错误的。 拿欧氏几何来说，就可以被公理化为一个完整的系统。 常见误解二：“所有包含到自然数的公理系统都是不完备的”。 这个错误从上面的有些哥德尔定理的描述中都能看得出来。 该定理仅假设公理系统能“定义”自然数。 很多包含自然数的系统，例如“实数”和“复数”都有完备的公理化系统。 常见误解三：“因为不完备，我们永远无法证明一个公理系统无矛盾”。 不，我们可以用其他方法证明，如上面提过的超限归纳法。 其实该定理只表明我们不能从系统的内部证明相容性， 不排除我们可以通过其他系统给出证明。 例如，数论中的皮亚诺公理不能单独在数论范围内证明， 但可在集合论中证明。 哥德尔定理主要还是在数学领域中应用的，至於在实际中的运用， 很多都是基於错误的理解在盲目套用，论坛中的某些传教贴子中就多次出现。 要想避免错误，还是应该真正的弄懂这个定理的意思， 但矛盾的是，这的确需要相当的数学知识为基础，才可能， 对於很多人来说，实在太难了。所以在文中我指出一些错误理解， 进行了简单的分析，大家如果加以注意，就可以避免很多错误。 下面我介绍一些实际运用的例子，只是我个人认为比较正确的应用， 也许对帮助大家理解这个定理有帮助, 既然是数学定理，最直接的应用领域还是在数学里，尤其是数论。 很多数论中的命题的证明，都需要用到哥德尔定理。 这我就不多介绍了。这个定理表明，有些关於自然数的命题， 本身可能是真命题，但是不能仅从自然数公理系统内证明或证否， 需要其他的手段或者方法，如集合论等，才可以证明。 曾经有人猜测，“哥德巴赫猜想”可能就是这样的一个命题。 因此即便对於极为抽像和形式化的数学，数学家的直觉—— 也就是大量实践经验的积累——比纯形式的数学逻辑推理更基本，更可靠。 但并不能就此说逻辑就毫无用处了，後者可以用来验证前者是否正确， 也可以推导一些新正确的命题，只是不能代表全部。 而如前文所说，即便不能在形式系统内证明，还可以通过其他方法， 或从其他系统中证明。 另外，再次强调，“该定理仅假设公理系统能‘定义’自然数”， 是一阶的逻辑定理，不要任意扩大。这里经常发生错误理解， 还是建议有兴趣的朋友多了解掌握有关的基础知识。 该定理的另一个主要应用领域，是数学的一个应用分枝——计算机和人工智能。 现在把我文中提过的停机问题简单介绍一下。 计算机到现在有了极大的发展，但是基本原理还是冯·诺依曼提出来的， 只是速度和效率大大提高了。从根本上说，计算机的程序， 就是一种基於2进制数字运算的命题演算系统。其中给出的公理是有限的， 规则是可计算，而判定出命题的真伪时，输出结果， 停机并转向下一个命题的处理。 这就符合了哥德尔第一不完备定理的条件。可如该定理所说， 这样的系统必然是不完备的，也就是说至少有一个命题不能通过这样的“程序” 被判明真伪，系统在处在这样的命题时，就无法“停机”， 用俗话说就是被“卡”住了，永远不能绕过。无论你怎样扩充公理集， 只要是有限的，这个现像就始终存在。而无限的公理集对於计算机来说， 就意味着无限大的存储空间，这显然是不可能的。 因此，有些数学家，如我提过的彭罗斯就认为，这表明了计算机是有致命缺陷的， 而人类的“直觉”不受该定理的限制，所以计算机永远不可能具有人脑的能力， 人工智能期望中的真正具有智慧的“电脑”，只不过是如“皇帝的新衣” 那样的“皇帝的新脑”。关於这个问题的详细情况，可阅读彭罗斯的《皇帝新脑》。」 引用出处：http://www.eaglefantasy.com/archives/108 --

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