简单说两句，用语言来解释数学往往是不准的 比如大小的问题，数学上是不用大还是小这种模糊的字眼的 一般日常生活中比某集合大小的方法， 一种是包含关系 如果A包含B，那麽A至少不比B小，若A中除了有B还有别的东西，那麽A比B大 这个想法很简单，而且用这种观点来看整数是比自然数大的。因为自然数只是 整数的真子集。进一步说就是有一个函数，每个B都对应一个A，但A中有的没有B中的对应 所以A比B大 所以就谈到对应关系 如果能把A和B中的全部东西一对一的对起来，那麽A和B是一样大的， 这里就可以构造一个这种简单的函数让自然数和整数对应起来。 方便起见这里自然数包含0， 做如下对应 我们知道自然数都能写作2n-1和2n的形式（非奇即偶） 自然数 整数 2n-1 ---------- n 2n -n 很明显，这里的对应是一对一的而且每一个都可以对。 而日常生活中这两种对我们来说没有太多的问题，如果有第一种情况，第二种是显然的 那是因为生活中遇到的都是有限的东西，就不存在这种问题。 对于後一种对应关系，我们用cardinal number即基数（或势）来表示集合元素个数的多少 而我们日常用的自然数本质上就是这个东西，如3，他代表所有能够和集合 {a，b，c}一一对应的集合的全体，而把这些集合抽象出来就是为了便于比较 逻辑链如下 A B 苹果，苹果，苹果 ? 苹果，苹果 | | | | | | 3 > 2 而前一种是 A.苹果 苹果 苹果 | | | A>B B.苹果 苹果 （无） 这些，人们往往是用在有限范围内的。 所以由经验会有若满足第一种情况必然有第二种情况的经验想法 但数学不讲经验，只讲逻辑。 （为啥经验只能在有限中有用，数学可以证明，这要牵涉到一些更高的概念） 对于自然数和整数这种无穷，我们用一个基数 表示（打不出来，是个希伯来字母， 念阿列夫0，因为cantor想纪念下自己的祖宗） 好了，那麽无穷是不是就只有阿列夫0这一种呢?即所有的无穷都可以和自然数一一对起来 不是的，比如实数的数量就比自然数多，即任何一个函数都无法使这两个一一对起来 总会有些实数对不上去，这是个很简单而精巧的证明 （大概思想是将实数用2进制0，1小数表示，任找一个从自然数到实数的函数f， 把每个自然数的像f(n)的值 取一部分小数位（如f（n）取第n位an），然後构造这个实数，让这个实数每个小数位 上的数bn都不等于所对应的an，然後构造的这个数无论哪个自然数映过去都在某一位 和他不等，即有实数这个函数映不到） 最後，那无穷大有多少种，一个叫Cantor-Bernstein定理告诉我们有无限种 这个定理告诉我们，任何一个集合A，他的所有的子集合所构成的集合B（A的幂集） B的基数必然比A多，所以不断的取自己的幂集，就能得到越来越大的无穷大这样 ※ 引述《aletheia (cOnJeCTuRe)》之铭言： : ※ 引述《aletheia (cOnJeCTuRe)》之铭言： : : 标题: Re: [闲聊] 石头论证B版 : : 时间: Sun Oct 12 13:45:37 2008 : : 推 krisnight:囧我想到痛苦的集合论 10/12 14:23 : : 推 artyman:有趣的是 康托後来表示他是受到上帝的帮助 才证明出这定理 10/12 15:19 : : → aletheia:查过了 整数和自然数一样大的证明 是康托第一个证的 10/13 00:34 : : 推 A1Yoshi:不如来讨论那个证明吧。还蛮好玩的说～ 10/13 02:23 : : → aletheia:是说Schroder-Bernstein Theorem吗 10/13 15:25 : : 推 zoneline:我也想看那个证明 推一个!!!! 10/14 00:27 : 我在logic板写了一篇关於Schroder-Bernstein Theorem的证明 : 如果有Schroder-Bernstein Theorem的话 : Ｚ和Ｎ一样大的证明颇简单,如下: : 给定 f:Ｚ->Ｎ , f(n)=n : g:Ｎ->Ｚ , f(n)=|n , if a>b : |-n , if a<b : 根据Schroder-Bernstein Theorem,那麽Ｚ和Ｎ为equinumerous --

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