近代逻辑的发展(4) By CP 哲学小报第六十五号 　 4.0 前言 在上一篇主题连载中我们提到新逻辑的一些特徵，这些都是在这一百多年当中， 逻辑这门学科逐渐发展得出的结果。新逻辑是现在大学基本逻辑课教授的主要内 容，我想一般在学校里修过这堂课的朋友对於那些概念应该不会太陌生。然而， 若将时间拉到新逻辑刚开始发展的一百多年前，我们大概要稍微发挥一下想像力 ；在那个时代，没有网际网路，连旅行、书信往返都不如现在方便，就连电话， 也是刚刚过去这个世纪的新产品；在这样的情况下，学者之间的资讯交换比起现 在是缓慢很多的，虽然他们彼此之间还是会因为对共同的问题感到兴趣，而注意 彼此的研究与研究结果，但更多的情况是在不同的地域埋头从事自己的研究。 因为欧氏几何面临的挑战，数学家为了重新为数学寻找一个稳定的基础，渐渐发 现原有的推论工具不敷使用，开始发挥创意，将数学推向更抽象的层次，将符号 与对符号的解释区分开来，并且发明新的符号来代表新的概念。不同的数学家在 着作中可能使用不同的符号来代表相同的概念，这是很常见的现象，现在大家比 较普遍使用的符号，很多是因为容易排版、外观简洁，所以流通比较迅速，才为 较多人所接受、所使用。 新逻辑的一个特色就是符号化，这也是它为何被称为「符号逻辑」的原因。许多 人一提到符号逻辑，就有「看到这些符号就头大」的反应，因为那似乎不是我们 一般熟悉的表达方式，但是将逻辑符号化，确实可以帮助我们「透析」事理，让 事物之间的关系更容易被显露出来。 4.1 建构一个一致的系统 现在我们或许对於对象语言与後设语言的区分感到十分熟悉，这可以推溯到数学 家David Hilbert（1862-1943）在1922年第一次提出的後设语言概念。他试图建 构一个一致的（亦即没有矛盾的）系统，在他看来，要建构这样一个系统，第一 步工作便是将意义与符号区分开来，将整个演绎系统中，所有与意义有关的东西 都拿掉，只留下符号，以及运算这些符号的语法规则；於是，现在这整个系统， 在我们加诸解释、赋予符号意义之前，只是一堆空洞的符号字串。他相信如果我 们可以建立这样一个一致的系统，然後透过在後设系统中对之给予适当的解释， 就能在这个系统中确保住「真」这个性质。 我们可以以Bertrand Russell与Alfred Whitehead在Principia Mathematica（ 《数学原理》，1910年初版发行，1925年修订版发行）一书中，所提出的公设系统 作为例子。[1]首先，我们需要作的是，将所有派上用场的符号都列出，它们是我 们在这系统中所使用的「字汇」；其次，我们需要规定语法规则，字汇间什麽样的 组合可以算是一个「合法的」命题，什麽样的组合不行；再来，便是需要规定推论 规则，指明了如何从这命题推导出其他命题；最後便是要挑选几条必要的公理。 在这个系统中，他们使用的「字汇」包括用来代表命题的基本符号：p、q、r，以及 代表连结词的符号：‘~’（「非」，否定的意思）、‘v’（「或」）、‘→’（ 「若……则……」）[2]、‘‧’（「和」、「以及」）。 根据这个系统的语法规则，每个代表命题的基本符号本身都是一个命题；若‘s’是 一个合法命题，则‘~s’也是一个合法命题；若‘s1’与 ‘s2’是命题，则 ‘s1 v s2’ 、‘s1 → s2’、 ‘s1 ‧ s2’都是合法的命题；除此之外，没有其 他命题。 Russell和Whitehead使用两条推论规则，一个是替代规则（Rule of Substitution） ，根据这条规则，我们可以将一个命题中所有相同的命题符号同时以其他的命题符号 来替换[3]；另一条规则是分离规则（Rule of Detachment，这条规则又称Modus Ponens），根据这条规则，从s1与s1 → s2，我们可以推得s2。[4] 再加上下面四条公理，便完成了这个公设系统。 (1) (p v p) → q (2) p → (p v q) (3) (p v q) → (q v p) (4) (p v q) → (( r v p) → (r v q)) 这还不够，我们希望它是一个没有矛盾的系统；要如何证明这样一个系统不会出现矛 盾呢？没有矛盾意谓的是，我们不会从s推导出~s。要如何证明这样的情形在这个系 统中不可能发生呢？ 根据这个系统，p → (~p → q) 是一个定理（亦即，可从公理与推论规则推导得之 （有兴趣的人可以自己推论看看））。让我们假设，s与~s都可在此系统中被推导出 ，然後我们用s替换p → (~p → q)中的p，得出s → (~s → q)，根据分离规则，从 s与s → (~s → q)，我们可以得到~s → q，然後再一次根据分离规则，从~s与 ~s → q，可以得出q，这意谓着q在这系统中是一个定理；根据替换原则，我们可以 用任何命题去替换q，这结果意谓的是，这个系统可以推导出任何命题。 但是我们并不希望我们的系统可以推导出任何命题，因为这样一来，它就无法排除 矛盾，我们期望我们的系统是一个一致的、不容许矛盾出现的系统；我们希望它可 以推导出某些命题，然後将其他与这些命题矛盾的命题，都排除在外。 要如何达到我们所希望的这个结果呢？我们必须证明：至少有一个命题是这个系统 证不出来的。（换言之，证明不是所有的命题都能由这个系统证出。） 要如何证明这一点呢？Russell和Whitehead想出一个很聪明的策略，他们说，「我们 要找到一种性质，是那些我们想要保留在系统中的命题所具有的，同时是那些我们希 望摒除在系统外的命题所欠缺的；如果这个性质在推论过程中都确定会被保留下来， 那麽我们便可以透过推论来筛选出我们想要的命题，得到我们想要的系统。」他们意 想中担负这个责任的性质是「套套句」（tautology），根据定义，一个命题是套套句 ，意指的是，它在任何可能的情况下都为真。[5]只要证明这个性质不会受推论规则影 响，会在推论过程中被保留下来[6]，我们便可以完成下列这个证明： (1) 这个系统每一个公理都是套套句。 (2) 套套句这性质不会在推论过程中被抵消。 (3) 每一个从公理中推导出的（也就是定理）都是套套句。（从(1)与(2)） (4) 因此，那些不是套套句的命题，也不会是这个系统的定理。（从(3)） (5) 我们可以找到一个不是套套句的命题。（比如：p v q） (6) 这个不是套套句的命题，不会是这个系统的定理。 (7) 但如果这个系统不一致的话，每一个命题都会是它的定理（亦即，每个命题 都可由此系统导出）。 (8) 因此，这个系统是一致的。（从(5)、(6)、(7)） -------------------------------------------------------------------------------- [1] 在此需要稍加说明的是，在Russell与Whitehead的系统中，他们并未提出 後设语言的概念。Principia Mathematica的目标是为了将数学化约到逻辑上 ，试图以逻辑作为数学的基础，他们并不认为我们可以在逻辑之外还有什麽逻 辑的「後设」系统；後设语言的概念要一直到1922年才由Hilbert提出，现在 在逻辑中许多重要的定理都是後设定理（比方说系统的一致性、完备性等）。 在本文中，笔者只是援引Russell与Whitehead的系统作为一致性公设系统的例子。 [2] 因为我打不出他们原本使用的那个符号，所以用这箭号替代。 [3] 举例来说，原来的命题是(1) p v p，我们可以用q取代其中所有的p，替代後的 命题成为(2) q v q，从(1)到(2)便是使用这条替换规则；或者从(1)到(3) (p v p) v (p v p) （用(p v p)去替换(1)中的p），这也是使用这条替换规则 。这条规则使用的限制在一定要全部换，以这个例子来说，若是只换其中一个， 得到(4) p v q便不是一个被允许的替换。 [4] 例如，根据这条规则我们可以从p v p和(p v p) → p推出p。 [5] 我们可以用真值表检验一个命题的真假值，根据语法规则：（T与F表不同的两 个值） p ~p T F F T p q p v q p → q p ‧ q T T T T T T F T F F F T T T F F F F T F 根据真值表，四个公理都是套套句（亦即，在每一列结果中都是获得T值）。 [6] 有兴趣的朋友可以自己尝试看看要如何证明这一点。 --

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