近代逻辑的发展(3) By CP From 哲学小报第六十三号 3.0 导言 一八四七年，英国数学家Boole发表The Mathematical analysis of Logic一书， 受其影响，逻辑开始发展成一套严格的数学系统，在此之前，逻辑学不出三段论的 范畴，在此之後，美国的Peirce、德国的Schroder、义大利的Peano等人都受到Boole 代数逻辑的影响，各自创立不同的符号逻辑系统；从此逻辑学不再只包含三段论一种 逻辑，而是有许多不同的逻辑系统，逻辑学发展至此迈入一个新的纪元。我们将在 3.2介绍近代逻辑不同以往三段论逻辑的特色。但在此之前，我们先要介绍一下当代 符号逻辑之父Frege。 3.1 当代逻辑之父Frege Frege之所以被视为当代逻辑之父，是因为他将量词逻辑形式化，建立一套量词逻辑 理论。[1] 之前我们提到非欧几何的出现，使得数学的基础受到动摇；数学的公理系架构奠立在 公理（其为真）以及严格推论法则这两基础之上，由此推导出其他定理，非欧几何告 诉我们根据相同的基础，却可建立出不同公理系，在不同公理系中推导出相互矛盾的 定理。 Frege虽被尊为当代逻辑之父，他在逻辑领域所进行的工作，目的却不是为了逻辑， 而是为了数学。非欧几何的出现，让数学家重新思考数学的基础；Frege相信数学与 逻辑之间的关系比起大家原先以为的要密切得多，他希望能为数学找一个稳定的基础 ，在他心目中，那稳定的基础就是逻辑；换言之，在这样的构想之下，逻辑是比数学 更为基础的系统，所有在数学里头为真的命题，都可被化约为逻辑真的命题。在哲学 史上，这样的主张被称为「逻辑主义」（logicism）。 Frege很快发现，传统的三段论逻辑无法满足他的需求，「我们需要新的逻辑」。 3.2 新逻辑的特色 近代发展出来的新逻辑是「复数的」逻辑，相较於以往那个「逻辑等同於三段论」的 时代，在新逻辑时代里，我们用「逻辑」两字泛指许多各自独立、不同的逻辑系统。 总归来说，我们可以整理出以下几点特色，这是三段论未具备的： (1)有一套不同於日常语言的形式语言L。 (2)在L中，语法与语义清楚地区别，语法（类似於自然语言里头的文法）仅规定什麽 样的语式在L中是合法的语式，语式的意义则属语义的范畴。 (3)在L中，区分逻辑符号与非逻辑符号，前者包括具有固定意涵的连词（如「和」、 「若……则……」等），後者的意涵则不固定，随不同的解释而改变。在这两者之外 ，还有一类符号代表变元（variable）。[2] (4)区分对象语言与後设语言，我们在後设语言中谈论被谈论的对象语言L。 (5)区分逻辑系统的层级。命题逻辑包含逻辑连词。命题逻辑加上个项变元 （particular variable）与量词（quantifiers，如「所有的」、「有些」等） 就成为一阶逻辑（first-order logic）。一阶逻辑再加上函值变元（function variable）或关系变元（relation variable），量词作用的范围包括这些变元 ，则成为二阶逻辑（second-order logic）。[3] (6)决定逻辑系统的数值为何，是二值（比方说「真」、「假」）或是三值甚至 多过三值？是否要遵守排中律（the excluded middle）？（古典逻辑保留排中律， 直觉主义逻辑（intuitionistic logic）则否。） (7)设定L的後设理论，比方说：那些结果在我们的逻辑系统中可被证明为真？ 对於没有接触过逻辑的人来说，上述这些特性或许看来抽象，接下来，就让我们简单 举一个例子，实际来看看这些特性如何在逻辑系统里头运作。 首先，我们会需要建构一个形式语言L，L主要由两个部分构成： （A）字母（alphabet）—那些符号在这个语言中算数？（例如，「C」是英文的 alphabet，但「Γ」不是，Γ不属於英文的任何部份。） （B）语法规则—告诉我们在这个语言里头，这些字母要如何组合才算数？ 我说，我的L要有这些字母： 用来表达命题的字母P、Q、R；连接词~、→；其他符号（、）。 然後我说，在这个L里头： 所有用来表达命题的字母都成一句话（formula）； 如果x是话，那~x也算话； 如果x、y都是话，那（x→y）也算话； 除此之外，其他的东西在L里头都不算话。 根据以上这些规定，我们就可以说，在L里头： P、Q、R、~P、~~ Q、（P→R）、~（（P→R）→Q）都成话，但Q~、→Q、X则 什麽都不是，後者不属於L这个语言。 以上是语法的部分。 至於语义，我可以规定： 在L里头只有两种值：0与1，每个命题字母的意义不是0就是1； 若x为0，则~x为1；若x为1则~x为0； 若x与y同值，则（x→y）为0；若x与y不同值，则（x→y）为1。 藉着这样的方式，每一个在我的L里头写得出来的句子，都有了意义。 当然，这样一个L除了好玩之外，没有什麽有意思的功能，不过它仍然包含了上述 我们提到的那些特性。你能够根据上述提到的那些特性，辨别这个L的属性吗？它 是那个层级的逻辑系统？它是几值的逻辑系统？你能从上述描述中区分出那些属於 对象语言，那些属於後设语言吗？^_^ -------------------------------------------------------------------------------- [1] 1879年，Begriffsschrift（英文译本译为Conceptual Notation and Related Articles）。 [2] 不同逻辑学家发展的逻辑系统，即使同一个概念也可能用不同的符号表示，新 逻辑里头使用的许多概念并不是新的，但建构一个新的语言，用符号表达这些 概念，这样的方式却是新的。 [3] 在此，区分的核心概念是：「在这逻辑里，我们谈的对象有那些？」比方命题 逻辑处理的对象是命题与命题之间的推论关系，而加上量词之後，我们就可以 处理包含量词的对象，如「所有的人都是动物」，从命题的角度来看，这是一 个命题『p』，但从量词的角度来看，这个句子就可以被表达为『(x)Hx→Ax』 （Hx 指「x是H」，Ax指「x是AxH」）。至於到了二阶或二阶以上的多阶逻辑， 我们处理的对象又不一样，我们所使用的语言L也会增添新的符号表达这些多出 来的对象（比方说，如果你的逻辑里处理到的对象包括关系，你就要有关系变元 来表达「关系」。） --

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