近代逻辑的发展(2) By CP 哲学小报第六十二号 2.0 前言 上回我们说到亚里斯多德的三段论虽然具有威力，其适用的范围仍显局限， 但近代逻辑一开始却非为了弥补三段论的不足而生。 很有趣地，要谈到近代逻辑的产生，我们得从非欧几何的发展开始谈起。 2.1 欧几里德的第五公设（平行公设） 欧几里德的《几何原本》，由定义、公理、公设与命题（包括作图与定理）四个部分 组成，以前三者为基础，依据逻辑推演，证得命题。 他列出的五条公设，内容如下： 1. 由任意一点到任意一点可作直线。 2. 一条有限直线可以继续延长。 3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4. 凡直角都相等。 5. 若一直线与两直线相交，使同旁内角小於两直角，则两直线若延长， 一定在小於两直角的两内角的一侧相交。 这第五公设有何特别呢？长久以来，数学家们发现第五公设相较前四个公设要显得 冗长许多，而且似乎它也不像前四公设那般显而易见。一些数学家并且留意到欧几 里德迟迟到了证明第二十九个命题时才第一次使用到第五公设；换言之，没有第五 公设我们同样可以获得《几何原本》里的前二十八个命题。[1] 於是数学家就猜测，为什麽，会出现这个情形？难道说前二十八个命题与第二十九 个命题相较，简单太多？事实似乎并非如此，在前二十八条命题的证明里头，我们 发现有的要比命题二十九的证明还要来得复杂。 那到底是为什麽呢？有些数学家开始思索这样的问题：究竟第五公设的地位为何？ 它有没有可能不作为公设，而只作定理呢？亦即，我们能否由前四个公设来证出第 五公设？这是几何发展史上，争论了两千多年的问题。 2.2 非欧几何的冲击 由於这个问题一直没法获得解决，答案似乎指向「第五公设确实是个独立的公设， 无法由其他公设导出」；但是否可以其他不同的公设来取代第五公设？倘若舍弃第 五公设，对我们的系统会带来什麽影响呢？整个系统是否仍然可以保有一致性，不 出现矛盾？ 在证明第五公设的过程中，出现这类想法似乎是很自然的。在怎麽证似乎都证不出 第五公设的情况下，有人自然会想到，如果我们采用一个与第五公设相矛盾的命题 来取代第五公设，而能导出系统的矛盾的话，这就等於是以反证的方式证明了第五 公设。事实上，俄国数学家N. I. Lobachevsky（罗巴切夫斯基1792-1856）就是在 苦思证明第五公设之法的过程中，发展出他的罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提 出的非欧几何系统。 罗巴切夫斯基几何里头包含两个重要的结论： 第一，第五公设无法被证明。 第二，他以「过直线外一点能作两条直线与它平行」替代第五公设，所建立的新 公理系与欧氏几何同样是一个完善的、严密的系统。[2] 由此产生一个结果是：只要是逻辑上互不矛盾的一组假设，都可能提供一套严密的 公理系。[3]然而如此一来，则意谓着我们用以建立公理系的方法，并不足以确保 根据这些方法所导出的数学定理，必定具备我们原先所以为的那些精确、严格的特性 ；因为现在我们根据同样的方法，却可建立不同公理系，不同公理系所导出的定理 却相互矛盾。[4] 对数学家来说，这似乎意味着数学的公理系架构在某个地方出了差错，数学家需要 重新思考数学的基础。 这样的发展，後来却孕育出近代逻辑的花朵。 ----------------------------------------------------------------------------- [1] 这里强调次序，是因为之後的命题可以由前面已证出的命题得出。比方说， 在证明第三十二条命题「任意三角形的内角和等於二直角」时，就会使用到已证出 的命题二十九「一条直线与两条平行直线相交。则所成的内错角相等，同位角相等 ，且同旁内角的和等於二直角」。 [2] 欧氏几何说「过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线平行」，罗氏几何 说「过直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行」，但其各自都构成一个严密 的公理系。 [3] 德国数学家G. F. B. Reimann（黎曼1822-66）的黎氏几何则称「过直线外一点 不存在任何直线与已知直线平行」，其亦自成一个严密的公理系。 [4] 以上述欧氏、罗式、黎氏三套几何学中的平行定理来看，就很明显，依据公理 系方法，这三套几何各自成立，过直线外一点不可能既「有并且只有一条直线」、 「至少存在两条直线」、又「不存在任何直线」与已知直线平行的。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.248.231