作者birjonathan (ㄚㄅbir)
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标题[情报]99年 台大微积分C 第3题(ii 另解
时间Thu Jul 7 02:39:19 2011
A = sin( x^2)cos(y^2) dydx
B = sin(y^2)cos(x^2) dxdy
Prove that A=B
(Sol):
证明A=B即证明A-B=0 即可
A-B=∫∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx - ∫∫sin(y^2)cos(x^2) dxdy
=∫∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx - sin(y^2)cos(x^2) dxdy (和差化积)
=∫∫sin(x^2 - y^2)dxdy (极座标转换x=rcosθ y=rsinθ dxdy=rdrdθ)
2π 1
=∫ ∫sin[(rcosθ)^2-(rsinθ^2)]rdrdθ
0 0
2π 1
=∫ ∫sin(r^2cos2θ ) rdrdθ (半角公式可得)
0 0
2π 1
=1/2∫ ∫sin(r^2cos2θ )dr^2dθ ( 1/2rdrdθ = dr^2dθ )
0 0
2π r=1
=1/2∫ [-cos(r^2cos2θ)/cos2θ] dθ
0 r=0
2π
=1/2∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ] dθ
0
2π
=1/2∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ](1/2)d2θ ( dθ= 1/2d2θ)
0
2π
=1/4∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ] d2θ(泰勒展开cosθ=1-cosθ^2/2!+cosθ^4/4!-..)
0
2π
=-1/4∫ (1/cos2θ) [1-(cos2θ)^2/2!+(cos2θ)^4/4!-....] d2θ
0
2π
=-1/4∫ [sec2θ-(cos2θ)/2!+(cos2θ)^3/4!-....] d2θ
0
2π
=-1/4[(lnsec2θ-tan2θ)-sin2θ/2!+(sin2θ-sin^3θ/3)/4!-.....]
0
=-1/4[(ln1-ln1)-0+0-0+........]= 0
=> A-B=0 =>A=B
*故A=B得证
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小弟最近想到这个方法 让大家参考一下
希望有帮到要考试的人罗 只剩倒数几天拉
祝大家考试顺利
金榜题名罗 颗颗!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 123.193.245.23
※ 编辑: birjonathan 来自: 123.193.245.23 (07/07 02:43)
※ 编辑: birjonathan 来自: 123.193.245.23 (07/07 02:45)
※ 编辑: birjonathan 来自: 123.193.245.23 (07/07 02:46)
1F：推 lovekwen:复杂化了说... 07/07 03:15
2F：→ tdjpl:你不觉得哑变数变换很方便吗... 07/07 06:26
3F：推 will510589:同意楼上.. 07/07 08:41
4F：→ birjonathan:不过这题十分 只写哑变元不一定保证都拿的到分数 07/07 12:24
5F：→ birjonathan:我是当时的考生 这样写那时拿到八分 就参考看看吧 07/07 12:25
6F：推 johnjohn1330:楼上八分很多啦~~可以分享解答了~~~ 07/07 12:30
7F：推 lovekwen:你怎知道你这题拿八分?你又看不到哪里被扣分... 07/07 13:03
8F：推 paulu90:推哑变数 07/07 13:07
9F：推 TaiBeiGuo:哑变数和哑巴有任何关系吗? 07/07 16:17
10F：→ TaiBeiGuo:应该是指dummy variable吧? 07/07 16:18