作者pael (就是喜欢)
看板Statistics
标题[问题] 请教两常态随机变数独立与 Cov 之关系
时间Sun Mar 11 10:37:24 2007
在 Hogg. 的数理统计书里 有提到多变量常态独立若且唯若其共变数为零
但是在做一题交大、清大的研究所考古题时，却想不到是哪里出了差错
题目如下：(90交大统研、93交大管科、94清大统研)
Let X be a normal random variable with mean 0 and variance 1.
Let Z be a random variable such that Z and X are independent with
P({Z=1})=1/2 and P({Z=-1})=1/2. Now define Y=ZX, "Y=X if Z=1" and
"Y=-X if Z=-1".
(a) Are X and Y independent?
(b) Are Z and Y independent?
(c) Show that Y is normal random variable with mean 0 and
variance 1.
(d) Show that Cov(X,Y)=0
问题如下：
(a) M_X,Y(t,s)=E[exp(tX+sY)]=E[exp(tX+sZX)]=E{E[exp(t+sZ)X|Z=z]}
=P({Z=1})*E[exp(t+s)X]+P({Z=-1})*E[exp(t-s)X]
=1/2*{exp[(t+s)^2/2]+exp[(t-s)^2/2]}
又 M_X(t)=M_X,Y(t,0)=exp(t^2/2) M_Y(s)=M_X,Y(0,s)=exp(s^2/2)
因 M_X,Y(t,s)=!M_X(t)*M_Y(s) 所以 X 与 Y 不独立
(b) 同上一题之做法，可以求得 Z 与 Y 独立
(c) 由前面小题得知，Y 为一服从 N(0,1) 之随机变数
(d) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=E(XY)=E[X(ZX)]=E[(X^2)*Z]
问题如下：
(a) M_X,Y(t,s)=E[exp(tX+sY)]=E[exp(tX+sZX)]=E{E[exp(t+sZ)X|Z=z]}
=P({Z=1})*E[exp(t+s)X]+P({Z=-1})*E[exp(t-s)X]
=1/2*{exp[(t+s)^2/2]+exp[(t-s)^2/2]}
又 M_X(t)=M_X,Y(t,0)=exp(t^2/2) M_Y(s)=M_X,Y(0,s)=exp(s^2/2)
因 M_X,Y(t,s)=!M_X(t)*M_Y(s) 所以 X 与 Y 不独立
(b) 同上一题之做法，可以求得 Z 与 Y 独立
(c) 由前面小题得知，Y 为一服从 N(0,1) 之随机变数
(d) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=E(XY)=E[X(ZX)]=E[(X^2)*Z]
=E(X^2)*E(Z)=0
不知道是不是我哪里写错了，不然怎麽会发生 X 与 Y 皆为服从常态之随机变数
且 Cov(X,Y)=0，但是 X 与 Y 竟然不独立，麻烦各位前辈帮忙指点一下，谢谢！
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