位能为何不能被单一粒子具有，也不可分割，只能被共享 我们由牛顿运动定律出发，到功能定理，再到力学能守恒 可以看到位能是如何出现(被定义)的，以及位能有什麽性质 约定: 以下我们考虑的皆是牛顿物理的质点(古典粒子)，具有精确的位置与动量 没有体积只有质量，所以没有自转与内部结构 两密度均匀的星球，用两次壳层定理後可视为两个点粒子之间的引力 (万物皆粒子，牛顿认为光也是粒子) 所有粒子的位置函数 x，以及其导函数 x'=v，二阶导函数 x"=a， 皆是时间的的向量值函数(R的子集 → R^3)，prime是指对时间微分 两向量相乘都是指内积，例如动能 1/2 mv^2 的v^2是速度的内积 亦即 v^2 = |v|^2，两边微分可得 va+av=2|v||v|' => a(v/|v|)=|v|' 所以加速度在路径切线方向的投影大小(切线加速度大小)=|v|' 又如(1/2 mv^2)' = mva=Fv 所以若质点的动能不变(等速率)，则其所受净力做功的功率 Fv=0 若且惟若 F=0 或 F与v恒垂直 功能定理: 今考虑一质量为m的质点，受净力F运动，其位置函数为x 则 F=mx" --------------------------------------------------(1) 两边跟x'内积得 Fx'=mx"x'=(1/2 mx'^2)' 两边对时间不定积分 ∫Fx' dt = 1/2 mx'^2 + c 变数变换定积分之後就是功能定理 x(t2) ∫ F dx = 1/2 m[x'(t2)]^2 - 1/2 m[x'(t1)]^2 = Δ E_k -----(2) x(t1) 逻辑上(1)可以推得(2)，反之无法 (1)是微分、向量式；(2)是积分、纯量式 但不能说牛顿运动定律可以推出能量守恒，或比能量守恒更基本 不管是功能定理还是力学能守恒定律都只是能量守恒的一部份 只能说牛顿力学以及我们定义的功、动能和位能没有违反能量守恒定律 当然做功的定义，其中的F并不限於点粒子所受的净力 因此其轨迹或位置函数x可以与F无关 由(2)式到功能原理还得意识到功(或能)这个重要的物理量 历史上明确定义出做功的人并非牛顿 时间也比牛顿的《自然哲学的数学原理》问世晚好几年 我们在国中刚接触牛顿力学时就马上定义出令人费解的功 还知道功是能量并会遵守能量守恒，这有点像上帝视角 力学能守恒: 我们先推导高中教科书教的公式 然後检视是否符合牛顿运动定律 之後再推导符合牛顿定律的公式 考虑(2)式，若 F 为保守力，则定义位能变化 x2 ΔU = -∫ F dx x1 增加的位能 = 负的保守力作功 负号是为了让能量守恒，教科书通常会说抵抗保守力作功 把位能的定义代入(2)式得 ΔU+ΔE_k=0 以万有引力为例: F=-(GMm/r^2)e_r = mx" r是m的位置函数，e_r是r方向的单位向量 即 r=|r|e_r => r'=|r|'e_r + |r|(e_r)' => r'e_r=|r|' 跟r'内积，转为纯量式 -(GMm/r^2)e_r r' = -(GMm/r^2)|r|' = mr"r' (GMm/|r|)' = (1/2 mr'^2)' -GMm/|r| + 1/2 mr'^2 = c 力学能守恒定律 若在地表小范围: 重力大小(mg)以及方向(-z)皆不变 z是垂直向上指向天空的单位向量 则 F=-mgz=mx" -mgzx'=mx"x' mgxz + 1/2 mx'^2 = c 其中 xz 是位置函数在 z 上的投影大小 h 以上力学能守恒公式的推论有个小问题，也是大问题 小问题是公式是高度近似，甚至还比较实用 大问题是容易对力学能(包括位能)产生误解 且近似版只能在特定条件下使用 要正确理解位能跟力学能，就必须找出这个问题 我先用空白页防雷，因为答案真的很简单 说出来大家一定都知道，但或许有人以前没想过 那麽一定要尝试自己当柯南 防雷页 问题出在牛顿第二运动定律只能在惯性系下使用 我们的推论默认以地球为 frame 但地球同时也受到 m 的反作用力，理论上非惯性 重新检视: F=mx" 对任何惯性系皆成立，且对任何惯性系 F、m、x"皆不变(不考虑相对论)， 但当我们两边跟x'做内积时，x'会因不同的frame而变 惯性frame彼此的x'会差个常数(函数) 非惯性frame底下，原本的F=mx" 必须加入假想力修正 所以正确的作法是重选一个惯性系，或仍选地球为frame但加入假想力 重选一个惯性系: 其中 m 的位置函数为 x；M 的位置函数为 X F12=mx"；F21=MX"；F12=-F21 令 r=x-X=|r|e，e为r方向的单位向量 r'=x'-X'=|r|'e + |r|e' => r'e=|r|' 因此 -(GMm/r^2)e = mx"；(GMm/r^2)e = MX" 两式分别与x'、X'做内积 -(GMm/r^2)ex' = mx"x'；(GMm/r^2)eX' = MX"X' 两式相加 -(GMm/r^2)(x'-X')e = -(GMm/r^2)|r|' = mx"x' + MX"X' (GMm/|r|)' = (1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 )' -GMm/|r| + 1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 = c 此为完整版的力学能守恒公式，对任何惯性系皆成立 特别地，取质心为frame时，质心速度=0 mx'+ MX'=0 => X'=(-m/M)x' => 1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 = 1/2 mx'^2 [(m+M)/M] ≒1/2 mx'^2 因此教科书版可视为以质心为frame， 且 M >> m 下的近似。 加入假想力的修正版: 以M为frame，M受到-F的反作用力，加速度为-F/M 所以m必须外加一个假想力 -m(-F/M) 因此 F + mF/M = mx" 这里的x、x'、x"皆以M为frame，x以M为原点 x方向的单位向量以e_x表示，所以 x=|x|e_x => x'=|x|'e_x + |x|(e_x)' => (e_x)x'=|x|' 由 F=[mM/(m+M)]x" (-GMm/x^2) e_x = [mM/(M+m)] x" (-GMm/x^2) e_xx' = [mM/(M+m)] x"x' (-GMm/x^2) |x|' = [mM/(M+m)] x"x' (GMm/|x|)' = {1/2 [mM/(M+m)] x'^2}' -GMm/|x| + 1/2 [mM/(M+m)] x'^2 = C 此式可视为(自动地)对任何frame皆成立 因为只出现相对速度与距离 当M >> m 时，教科书版也是上式的近似 此式显示孤立系统的力学能守恒，其实就是位能与内动能之间的转换 对於多质点系统也是如此，因为 系统总动能=质心动能+内动能 而孤立系统的总动量守恒 => 质心速度不变 => 质心动能不变 因此总动能变化量等於内动能变化量 位能的正确定义: 由以上经验可知，m1、m2的位能是由m1、m2间的作用力 与m1、m2的相对速度内积再对时间积分再取负值而来 有点绕口，用式子推导就是 F12 = m1 x1"；F21 = m2 x2"；F12=-F21 F12 x1'=m1 x1" x1'；F21 x2'= m2 x2" x2' 两式相加再积分 ∫(F12 x1' + F21 x2')dt = 1/2 m1 x1'^2 + 1/2 m2 x2'^2 + C 左边的不定积分就是负的位能项，定积分就是 -ΔU 移项之後即为 ΔU + ΔEk1 + ΔEk2 = 0 所以定义ΔU (以下皆指定积分) =-∫(F12 x1' + F21 x2')dt = -∫(F12 x1' - F12 x2')dt =-∫F12 (x1'- x2')dt = -∫F12 x12' dt = -∫F12 dx12 其中 x12=x1-x2 为m1、m2的相对位置函数 (若以m2为原点，m1的位置为r，它们的位能与保守力必有 F dr = -dU = -▽U dr， dr 可以任意，所以 F=-▽U ) 所以位能(-∫F12 dx12)与frame无关 与内动能一样可视为系统内在的物理量 因此若把位能判给单一粒子，使其力学能守恒有以下 ΔU + ΔEk1 = 0 的型式 那显然此式只能在特定frame下成立或近似 因为转换frame後的ΔU 不会变 但ΔEk1普遍来说变化甚大 例一: 有一个质量m的木块，与地面的动摩擦系数k， 以初速度v在地面滑行一段距离後静止， 问滑行距离，摩擦力作功，产生多少热能? 由摩擦力=mgk，假设滑行距离d，摩擦力作功等於动能变化 -mgkd=0-1/2 m v^2 ， 求出d=(1/2) mv^2 / mgk， 再由 m 减少的动能(1/2 mv^2) 等於增加的热能 便可求出所有答案，这是常见的高中物理题目与常见的解答 但如果换个frame来看，整件事情就变得诡异 假设我取的惯性frame看m的初速度是0，地面以等速度-v移动 m由静止被地面拖着走，最後与地面一同以-v等速度移动 在这个frame下摩擦力做正功，m动能增加，且产生热能 热能其实也是一种内能(内动能) 由前面的结论可知，若把热能视为单独由m的动能转变而来 那势必只能在特定的frame下成立或近似 我们考虑两种可能: 一: m 与地球M 为孤立系统 正确的热能应该是由m与M的内动能转换而来 也就是 1/2 [mM/(m+M)] v^2 才是正确的热能 因为 ∫F1dx1 + ∫F2dx2 = ∫F12dx12 = Δ E_k1+ Δ E_k2 =Δ内动能 + (Δ质心动能=0) 这个公式虽然是用双质点模型，F12是保守力，∫F12dx12 是负位能差 不过在这里仍可用，只是解释不同 其中F12是地球对m的作用力，可分解为与dx12平行的摩擦力 以及与dx12垂直的引力及正向力，垂直的不作功 所以这项算出来就是摩擦力乘以相对位移dx12，摩擦力总是阻止产生相对位移 因此与相对位移反方向，所以∫F12dx12这项积出来必为负 -∫F12dx12必为正，因此摩擦总是生热 由此可知摩擦力作功可以有不同的解释，其中一种是用来增减m的动能 会因frame而不同，另一种是用来产生热能，不会因frame而不同。 (以上可计算出摩擦力作功=摩擦生热，但无法解释热，注1有可以解释的模型) 所以正确的滑行距离D=内动能/摩擦力=(1/2)[mM/(m+M)] v^2 / mgk 上面的 d =(1/2) mv^2 / mgk 也只是近似 因上面的算法用地球当frame，而地球非惯性，必须加假想力修正 地球的加速度是 -F/M，因此作用在m的假想力为 -m(-F/M) 加上原本的F (大小=mgk) F+m(F/M)=ma => F=[mM/(m+M)] a a是m对地球的加速度 a=F(m+M)/mM 为常向量 0=v^2 - 2|a|D，(等减速率直线运动) D=(1/2)v^2 / |a| = (1/2)v^2 mM/(|F|(m+M))=(1/2)[mM/(m+M)] v^2 / mgk 与用内动能算出来的D相同 而转换惯性frame来看，只是改变质心动能，内动能不变， 因此也就不会影响由内动能转换而来的热能。 二: 地球M 为真正的惯性系: 此时 Δ E_k2 =0 无误差，因此 ∫F12dx12= Δ E_k1+ Δ E_k2 = Δ E_k1= - 1/2 mv^2 1/2 mv^2 即是正确无误差的热能 d=(1/2) mv^2 / mgk 也是正确的滑行距离， 但转换惯性frame後怎麽看能量守恒? 因为M 是惯性的，Δ E_k2 = 0， 整个系统的总动能变化等於 Δ E_k1，不再等於内动能变化 可见质心动能变了，这是因为要让M 保持惯性 必须对它施加一个外力以抵抗m对它的摩擦力 所以系统总动量不再守恒，不再是孤立系统 在M frame上看，这个外力不作功，因为M静止 用点粒子系统模型来看: f12为m2(地球)对m1的作用力，f21反之，f12=-f21 F1+f12为m1所受的净力，即F1为作用在m1的外力(对系统而言) F2+f21为m2所受的净力，即F2为作用在m2的外力(对系统而言) F1+f12=m1x1”；∫(F1+f12)dx1=Δ E_k1 F2+f21=m2x2”; ∫(F2+f21)dx2=Δ E_k2 两式相加 ∫F1dx1+∫F2dx2+∫f12dx12=Δ E_k1+Δ E_k2 其中只有∫f12dx12 不会因转换frame而变 在惯性 M frame之下，∫F1dx1=0，因F1=0；∫F2dx2=0，因dx2=0 所以 ∫f12dx12=Δ E_k1+Δ E_k2 =Δ E_k1=-1/2 m v^2 因此热能=1/2 m v^2 但转换为以m初速=0 (M等速-v) 的惯性frame 後 ∫F2dx2 作功了 ∫F2dx2 = -∫f12dx12 + Δ E_k1 + Δ E_k2 =1/2 mv^2 +1/2 mv^2 = mv^2 所以这个frame 看到多出来的热能与动能， 是为了让M保持等速所施加外力所作的功，能量守恒仍成立。 接下来我们来看束缚能或脱离能(这里面也有位能不可分的影子) 实务上是把能量(动能)输入给m，使其逃离M，不管M是地球还是太阳 m的质量跟它比起来都微不足道，但若现在是两个电荷量与质量都差不多的带量粒子 或两个质量差不多的星体(人类应该没能力拆散两颗星体，纯讨论) 那麽要拆散它们所需输入的最小能量，应该是给整个系统，而不是只给m 输入的能量用来增加系统的内动能，使其转换为位能而分开 因为双星被拆散(远离)的过程，就是内动能转换为位能的过程 因此要能拆散它们必须要使其内动能+位能>=0 若输入的结果造成质心动能增加或内动能+位能>0都是浪费掉的 若要不造成质心动能增加，输入能量前後必须满足双星动量守恒 也就是不能只对m施力，对M也要施力，而且要考虑角度才能满足动量守恒 比如这一题 #19zslQUK (Physics) 题目只给B速度V，问V要多大才能拆散它们，由内动能+位能=0 即 1/2 (2mm/3m) V^2 - G2mm/R=0 可求出最小的V， 由於A一开始是静止的，所以V往哪个方向都可以，只要不撞在一起， 当然因为题目只给B动能，造成质心动能也有增加，所以这不是束缚能。 [注1] 热能是什麽? 何谓摩擦力作功? 以下考虑质量分别为m、M的两个木块A、B；B静止在水平光滑平面上， A在B上以初速v滑动，受摩擦力作用最终与B等速运动。 假设木块A跟B 分别由N1、N2个点粒子组成 它们的指标集也分别叫做A、B好了 A={1,2,...,N1}；B={N1+1,N1+2,...,N1+N2} A木块={m_i : i in A}；B木块={m_i : i in B} mi同时表示第i个粒子的质量，xi为其位置函数 令Fi代表来自AUB系统外且作用在mi上的合力， fij代表mj作用在mi上的力 (j≠i)。 则 Fi+Σ fij = mi xi" for i in A U B j≠i, j in AUB 以下皆是指定积分，前後为整个摩擦过程 考虑A系统内的点粒子 ∫(Fi+Σfij) dxi = Δ E_ki for i in A j≠i, j in AUB 假设 Σ∫Fidxi =0 i in A 对个别的i而言，或许∫Fidxi ≠0，但巨观来看 假设外界对A(或B)皆不作功(净功=0) 所以对於A系统 Σ ∫Σfij dxi = Σ Δ E_ki i in A i in A j≠i, j in AUB 而Σ ∫Σfij dxi又可以拆成 Σ ∫Σfij dxi+ Σ ∫Σfij dxi i in A j≠i, j in AUB i in A j≠i, j in A i in A j in B Σ ∫Σfij dxi 是 A 的总位能变化， i in A j≠i, j in A 因为可以合并成 Σ Σ ∫fij dxij (与 frame 无关) i in A j>i (j in A) (在点粒子模型中，粒子间的作用力皆为保守力，否则会出现永动机，能量不再守恒。 拿重力来比喻，如果同一个物体上升相同的距离，但是今天跟明天重力作的功不一样， 那我们可以在重力小的时候把物体举高，重力大的时候放掉让物体作功，而获得免费的能 量。 因此点粒子间的作用力必为保守力，否则就是粒子切得不够细，还有内部结构发生改变， 或是有牛顿物理以外的事情发生。) 个别 ∫fij dxij或许≠0，但若A无明显形变，或热涨冷缩之类的， 巨观上可以忽略其总位能变化，亦即 Σ Σ ∫fij dxij = 0 i in A j>i (j in A) 而 Σ ∫Σfij dxi 就是 B 对 A 作的功，(摩擦力作功的第三种解释?) i in A , j in B 只考虑”接触力”的话，这一项只发生在接触面 fij不一定都是水平的，也有垂直分量，用来提供对A重量的支撑力 所以fij能不能称为摩擦力或此项能否称为摩擦力作功我也不知道 而这一项无法忽略，并且很难计算，所以仅考虑A的话会卡住 但在考虑整个AUB之後，这一项会被消掉 (这类情况其实在算m在可自由滑动的斜坡上自由下滑之类的题目已经遇过。注2) 考虑整个AUB系统 接触面的∫fijdxi 跟 ∫fjidxj 可以合并成 ∫ fij dxij = 0 (摩擦力作功的第四种解释?) 因为只有当mi mj接触 (dxij=0) 时才有接触力，亦即 dxij≠0 => fij=0 所以A、B之间的粒子不会有位能变化，而A、B自己的位能变化又可忽略， 因此整个摩擦过程 AUB 的总动能守恒 也就是摩擦前的总动能=摩擦後的总动能 摩擦前: AUB的总动能=A的总动能+B的总动能 =A的质心动能+A的内动能+B的质心动能+B的内动能 =1/2 m v^2 +A的内动能(前) + 0 + B的内动能(前) 摩擦後: AUB的总动能=A的质心动能+A的内动能+B的质心动能+B的内动能 =1/2 m (mv/M+m)^2 + A的内动能(後)+1/2 M (mv/M+m)^2+B的内动能(後) 因此摩擦前後的A、B内动能差(热能) =A的内动能(後)-A的内动能(前) +B的内动能(後)-B的内动能(前) =1/2 m v^2 - 1/2 m (mv/M+m)^2 - 1/2 M (mv/M+m)^2 =1/2 m v^2 - 1/2 (mm/(m+M)) v^2 =1/2 m v^2 (1-m/(m+M)) =1/2 mM/(m+M) v^2 与例一算的答案一样，但模型与解释不同。 这里可以看出是”质心内动能”转换为热能 但无法知道A跟B分得多少热能 [注2] 例如 #1bjw-uwt (Physics) 这一题 https://i.imgur.com/GF4PuRQ.jpg (这应该是普物的题目，高中会用斜坡) 以地球为参考frame，M对m有作功 ∫F12dx1 m对M也有作功 ∫F21dx2 (作不作功，作多少功，跟frame有关) 所以{m，地球} 与 {M，地球} 的力学能皆不守恒 但{m，M，地球} 的力学能守恒 因为∫F12dx1+∫F21dx2=∫F12dx12=0 因F12与dx12恒垂直 再来一个例子也跟能量守恒有关，假设有两个一模一样的火箭 在均匀重力场中，A、B火箭的内在条件完全一样 也一直产生相同的推力以抵抗重力，但A火箭维持等高，B火箭等速上升 它们燃烧一样的燃料，为什麽B比A多出额外的位能? 这个问题也很有趣，成因与前述皆不同 但要了解火箭的特性才能得出双方的力学能一样 有点超出高中物理，费曼曾经说过这样的话 如果你发现能量守恒不成立，应该先找找看有什麽能量被漏掉 而不是先怀疑能量守恒本身 原文我忘了，不过意思差不多是这样 结论: 有些物理量可以分割、组合，例如体积、质量、动量， 一个点粒子系统其总质量或总动量就是个别粒子的质量或动量相加 但系统的总力学能不行， A系统的力学能+B系统的力学能≠A+B系统的力学能 因为A、B之间可能存在位能，而位能不可分 把A、B分开考虑，就看不到它们的位能 取而代之的是必须分析A对B做多少功，B对A做多少功 而功会随着frame的不同而不同。 --

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