作者QuantaWolf (光太狼)
看板Physics
标题[问题] The variation of metric
时间Sun Mar 20 02:57:52 2022
最近在算g_{μν}的variation 发现一件奇怪的事
一般我们都定义δ g_{μν} / δg_{αβ} = δ^α_μ δ^β_ν
（先不论有无symmetrize 结果）
那根据g^{μν} g_{μν}=dimension of space time，
对这个Lorentz scalar做variation 应该会是零，所以δ g^{μν} / δg_{αβ} = -g^
{μα} g^{μβ}
那根据这个结果对 g_{μν} a^{μν} 和g^{μν} a_{μν} 这两组同样的scalar用δg
_{αβ} 变分，就会分别得到+a^{αβ}和-a^{αβ}，不一样的答案
想知道这变分到底哪里出错，为何会得到contradictory的结论？
详细见下图：
https://i.imgur.com/yOJMat7.jpg
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 47.20.59.170 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1647716274.A.B0E.html
※ 编辑: QuantaWolf (47.20.59.170 美国), 03/20/2022 02:58:14
1F：→ QuantaWolf: 会有这个问题是我实际去算δ L / δ gμν 想得到某 03/20 03:00
2F：→ QuantaWolf: 个Lagrangian 的symmetric energy momentum tensor的 03/20 03:00
3F：→ QuantaWolf: 时候发现的，怎麽想也想不通实际上哪里出错 03/20 03:00
4F：→ ocf001497: 应该是因为你的最後一行的左边是fix a_{\mu \nu} 然後 03/21 15:46
5F：→ ocf001497: 对 g_{\alpha \beta} 做 variation。但是你最後一行右 03/21 15:47
6F：→ ocf001497: 边是fix a^{\mu \nu} 然後对 g_{\alpha \beta} 做 vari 03/21 15:47
7F：→ ocf001497: ation。所以你两边的variation意义不一样。要比较的话 03/21 15:47
8F：→ ocf001497: 你右边的式子应该要把a^{\mu \nu}视为function of g_{\ 03/21 15:47
9F：→ ocf001497: alpha \beta} and a_{\mu \nu}。因为metric的值会影响r 03/21 15:47
10F：→ ocf001497: aising & lowering indices的结果。 03/21 15:47
11F：推 LeFilsDuVent: 原因是因为有metric藏起来没有微到所以少了一些项 03/22 14:27
12F：→ LeFilsDuVent: 例如如果你的a_{\mu\nu}如果跟metric无关(say, 03/22 14:28
13F：→ LeFilsDuVent: field strength)，那麽a^{\mu\nu}就会跟metric有关 03/22 14:28
14F：→ LeFilsDuVent: 所以藏着的那些inverse metric贡献的项都没算到 03/22 14:29
15F：→ LeFilsDuVent: 一个经典的例子是去算算电磁学的energy-momentum 03/22 14:30
16F：→ LeFilsDuVent: tensor，你变分完检查一下是否traceless，就知道其 03/22 14:30
17F：→ LeFilsDuVent: 中一个对另一个算法错，而问题也出在藏着的metric 03/22 14:31